Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Скользя́щая сре́дняя, скользя́щее сре́днее (англ. moving average, MA) — общее название для семейства функций, значения которых в каждой точке определения равны некоторому среднему значению исходной функции за предыдущий период.
Скользящие средние обычно используются с данными временных рядов для сглаживания краткосрочных колебаний и выделения основных тенденций или циклов[1][2].
Математически скользящее среднее является одним из видов свёртки.
Скользящие средние используются:
Так как при расчёте скользящего среднего значение функции вычисляется каждый раз заново[2], при этом учитывается конечное значимое[3] множество предыдущих значений, скользящее среднее «перемещается» (движется), как бы «скользя» по временному ряду.
В общем случае, взвешенные скользящие средние вычисляются по формуле[2]:
Нормирование весовых коэффициентов означает, что[2]:
Указанную выше формулу с произвольными значениями весовых коэффициентов можно переписать в виде:
Весовые коэффициенты в формулах (WWMA 1) и (WWMA 2) соотносятся как:
Зачастую, в качестве веса используют либо 1 (для простого скользящего среднего — SMA), либо формальные ряды, например, арифметическая прогрессия (WMA) или экспоненциальная функция (EMA). Но в качестве весового коэффициента могут выступать и значения связанного временного ряда. Например, для взвешивания биржевых цен по объёмам сделки (VMA) в качестве следует рассматривать цену сделки по инструменту, а в качестве — объём в момент времени :
Простое скользящее среднее, или арифметическое скользящее среднее (англ. simple moving average, англ. SMA) численно равно среднему арифметическому значений исходной функции за установленный период[1] и вычисляется по формуле[2]:
Полученное значение простой скользящей средней относится к середине выбранного интервала[1], однако, традиционно его относят к последней точке интервала[2].
Из предыдущего своего значения простое скользящее среднее может быть получено по следующей рекуррентной формуле[2]:
Данной формулой удобно пользоваться, чтобы избежать регулярного суммирования всех значений.
Например, простое скользящее среднее для временного ряда с количеством периодов равным 10 вычисляется как:
Выделяют следующие недостатки простого скользящего среднего[2]:
Иногда при построении скользящей средней некоторые значения исходной функции целесообразно сделать более значимыми. Например, если предполагается, что внутри интервала сглаживания имеет место нелинейная тенденция[1], или, в случае временных рядов, последние — более актуальные — данные могут быть весомее предыдущих.
Бывает, что исходная функция многомерна, то есть представлена сразу несколькими связанными рядами. В этом случае может возникнуть необходимость объединить в итоговой функции скользящей средней все полученные данные. Например, временные ряды биржевых цен обычно для каждого момента времени представлены как минимум двумя значениями — ценой сделки и её объёмом. Необходим инструмент для вычисления скользящей средней цены, взвешенной по объёму.
В этих и подобных случаях применяются взвешенные скользящие средние.
Взве́шенное скользящее среднее (англ. weighted moving average — англ. WMA), точнее линейно взвешенное скользящее среднее — скользящее среднее, при вычислении которого вес каждого члена исходной функции, начиная с меньшего, равен соответствующему члену арифметической прогрессии. То есть, при вычислении WMA для временного ряда, мы считаем последние значения исходной функции более значимыми чем предыдущие, причём функция значимости линейно убывающая.
Например, для арифметической прогрессии с начальным значением и шагом, равным 1, формула вычисления скользящей средней примет вид[2]:
При этом знаменатель функции, в этом случае, равен треугольному числу — сумме членов арифметической прогрессии с начальным членом и шагом равными 1:
Экспоненциально взвешенное скользящее среднее, экспоненциальное скользящее среднее (англ. exponentially weighted moving average — англ. EWMA, англ. exponential moving average — англ. EMA) — разновидность взвешенной скользящей средней, веса которой убывают экспоненциально и никогда не равны нулю[3]. Определяется следующей формулой[1][2][4][5][6]:
Первое значение экспоненциального скользящего среднего, обычно принимается равным первому значению исходной функции:
Коэффициент , может быть выбран произвольным образом, в пределах от 0 до 1. Например, он может быть выражен через величину окна усреднения:
В обычном экспоненциальном скользящем среднем сглаживанию подвергаются значения исходной функции, однако, сглаживанию могут подвергаться и значения результирующей функции[2]. Поэтому некоторые авторы определяют понятие экспоненциальные скользящее среднее произвольного порядка[2], которые вычисляются по формуле:
Экспоненциально взвешенные скользящие средние второго и третьего порядка обозначают иногда как, соответственно (от англ. double exponential moving average — двойное (двукратное) экспоненциальное скользящее среднее) и (от англ. triple exponential moving average — тройное (трёхкратное) экспоненциальное скользящее среднее)[2]:
Модифицированное скользящее среднее (от англ. modified moving average — англ. MMA; иногда называемое англ. running moving average — англ. RMA и англ. smoothed moving average) определятся как:
Несложно заметить, что модифицированное скользящее среднее является частным случаем экспоненциального скользящего среднего, для которого сглаживающая константа равна обратному значению величины сглаживающего интервала:
По аналогии со скользящими средними значениями, построенными на основе арифметического среднего, можно использовать и другие усредняющие функции (среднее степенное: среднее квадратическое, среднее гармоническое и т. д.; среднее геометрическое; медиану и т. п.) и их взвешенные аналоги. Конкретный выбор зависит от природы исследуемой исходной функции.
Простая скользящая медиана (англ. simple moving median — англ. SMM) — функция, значение которой в каждой точке определения численно равна медиане значений исходной функции за установленный период:
В 1990-х годах был предложен ряд скользящих средних с динамически изменяемой шириной окна (или сглаживающим коэффициентом), смотрите, например, Адаптивная скользящая средняя Кауфмана.
Кумулятивное скользящее среднее (англ. cumulative moving average) численно равно среднему арифметическому значений исходной функции за весь период наблюдений:
В реальных вычислениях, когда предыдущее значение кумулятивного скользящего среднего известны, применяются также следующие формулы:
Кумулятивное скользящее среднее не следует путать с кумулятивной суммой, которая вычисляется суммированием всех значений ряда нарастающим итогом:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.