Среднее квадратическое

Среднее квадратическое (квадратичное)^[1] — число ${\displaystyle s}$, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$:

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов, имеющий общенаучное значение.

Свойства

• Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

Параметр RMS

В разных технических приложениях вводится параметр RMS (англ. root mean square). Для дискретной величины ${\displaystyle a}$ он вычисляется по вышеприведённой формуле ${\displaystyle s}$, а для непрерывной или считающейся непрерывной — как

${\displaystyle \mathrm {RMS} =\left({\frac {1}{X}}\displaystyle \int _{0}^{X}a^{2}(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\right)^{1/2}}$,

где ${\displaystyle a}$ — исследуемая величина, изменяющаяся в зависимости от другой величины ${\displaystyle x}$ при пробегании последней значений от 0 до ${\displaystyle X}$.

Так, для измерения напряжения переменного тока простые измерительные приборы преобразуют сигнал ${\displaystyle I(t)}$ в постоянный ток ${\displaystyle I_{\text{eff}}}$ эквивалентной величины — среднеквадратичного значения RMS. То есть в данном случае роль ${\displaystyle x}$ играет время ${\displaystyle t}$, роль ${\displaystyle a}$ — мгновенное значение тока ${\displaystyle I}$, роль ${\displaystyle X}$ — достаточно большой интервал времени обработки сигнала. Сигнал фильтруется в среднее выпрямленное значение с поправочным коэффициентом. Как правило, при этом значение коэффициента отвечает именно синусоидальному сигналу. Однако, есть приборы, способные учесть произвольную форму сигнала; тогда даётся маркировка «True RMS» — истинное (англ. true) среднеквадратичное значение.

Ещё один пример — использование RMS как показателя шероховатости поверхности^[2]. Тогда роль ${\displaystyle x}$ может играть декартова координата вдоль исследуемой поверхности в пределах ${\displaystyle 0...l}$, а роль ${\displaystyle a}$ — отклонение высоты точки на поверхности от номинального положения (при абсолютной гладкости всюду ${\displaystyle a=0}$). Зависимость ${\displaystyle a(x)}$ может быть получена, скажем, с помощью атомно-силового микроскопа: вначале записывается профиль рельефа ${\displaystyle z(x)}$, затем находится среднее значение ${\displaystyle \langle z\rangle =l^{-1}\displaystyle \int z(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}$ и далее ${\displaystyle a(x)=z(x)-\langle z\rangle }$, после чего рассчитывается RMS.

Примечания

1. Квадратичное среднее // Большой Энциклопедический словарь (рус.). — 2000.
2. И. Д. Бурлаков, И. А. Денисов, А. Л. Сизов, А. А. Силина, Н. А. Смирнова Исследование шероховатости поверхности подложек... Архивная копия от 2 июля 2024 на Wayback Machine — журн. «Прикладная физика», No. 4, с. 80-84 (2014).