Квазиправильный многогранник
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Квазипра́вильный многогра́нник (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») — полуправильный многогранник, который имеет в точности два вида правильных граней, поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. Эти многогранники рёберно транзитивны[англ.], а потому на шаг ближе к правильным многогранникам, чем полуправильные, которые лишь вершинно транзитивны.
(3.3)2 | (3.4)2 | (3.5)2 | (3.6)2 | (3.7)2 | (3.8)2 | (3.∞)2 |
---|---|---|---|---|---|---|
r{3,3} | r{3,4} | r{3,5} | r{3,6} | r{3,7}[англ.] | r{3,8}[англ.] | r{3,∞}[англ.] |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Квазиправильные многогранники или мозаики имеют в точности два типа правильных граней, которые располагаются поочерёдно вокруг каждой вершины. Их вершинные фигуры являются прямоугольниками. |
Существует только два выпуклых квазиправильных многогранника, кубооктаэдр и икосододекаэдр. Имена этих многогранников, данные Кеплером, происходят от понимания, что их грани содержат все грани двойственной пары куба и октаэдра в первом случае, и двойственной пары икосаэдра и додекаэдра во втором.
Эти формы, представленные парой (правильным многогранником и двойственным ему), могут быть заданы вертикальным символом Шлефли или r{p, q} для представления граней как правильного {p, q}, так и двойственного {q, p} многогранников. Квазиправильный многогранник с этим символом имеет вершинную конфигурацию[англ.] p.q.p.q (или (p.q)2).
В более общем случае квазиправильные фигуры могут иметь вершинную конфигурацию[англ.] (p.q)r, представляющую r (2 или более) граней разного вида вокруг вершины.
Мозаики на плоскости могут быть также квазиправильными, в частности тришестиугольная мозаика с вершинной конфигурацией (3.6)2. Другие квазиправильные мозаики[англ.] существуют в гиперболической плоскости, например, трисемиугольная мозаика[англ.] (3.7)2. Сюда входят мозаики (p.q)2, с 1/p+1/q<1/2.
Некоторые правильные многогранники и мозаики (имеющие чётное число граней в каждой вершине) могут также рассматриваться как квазиправильные путём разделения граней на два множества (как если бы мы их выкрасили в разные цвета). Правильная фигура с символом Шлефли {p, q} может быть квазиправильной и будет иметь вершинную кофигурацию (p.p)q/2, если q чётно.
Прямоугольные треугольники (p p 2)[1] | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,4} r{3,3} |
{4,4} r{4,4} |
{5,4} r{5,5} |
{6,4} r{6,6} |
{7,4} r{7,7} |
{8,4} r{8,8} |
{∞,4} r{∞,∞} | |
(3.3)2 | (4.4)2 | (5.5)2[англ.] | (6.6)2[англ.] | (7.7)2[англ.] | (8.8)2[англ.] | (∞.∞)2[англ.] | |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() |
![]() Квадратный паркет |
![]() 5-угольная мозаика 4-го порядка[англ.] |
![]() 6-угольная мозаика 4-го порядка[англ.] |
![]() 7-угольная мозаика 4-го порядка[англ.] |
![]() 8-угольная мозаика 4-го порядка[англ.] |
![]() ∞-угольная мозаика 4-го порядка[англ.] | |
Треугольники общего вида (p p 3)[2] | |||||||
{3,6} | {4,6}[англ.] | {5,6}[англ.] | {6,6}[англ.] | {7,6}[англ.] | {8,6}[англ.] | {∞,6}[англ.] | |
(3.3)3 | (4.4)3 | (5.5)3 | (6.6)3 | (7.7)3 | (8.8)3 | (∞.∞)3 | |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() | |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Треугольники общего вида (p p 4) | |||||||
{3,8}[англ.] | {4,8}[англ.] | {5,8}[англ.] | {6,8}[англ.] | {7,8}[англ.] | {8,8}[англ.] | {∞,8}[англ.] | |
(3.3)4 | (4.4)4 | (5.5)4 | (6.6)4 | (7.7)4 | (8.8)4 | (∞.∞)4 | |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Правильный многогранник или мозаика могут считаться квазиправильными, если они имеют чётное число граней при каждой вершине (а потому могут быть выкрашены в два цвета, чтобы соседние грани имели разные цвета). |
Октаэдр можно считать квазиправильным как тетратетраэдр, (3a.3b)2, с раскрашенными попеременно треугольными гранями. Подобным же образом квадратную мозаику (4a.4b)2 можно считать квазиправильной, если раскрасить в стиле шахматной доски. Также и грани треугольной мозаики могут быть выкрашены в два альтернативных цвета, (3a.3b)3.