Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Квадра́тный парке́т, квадратный паркетаж[1], квадратная мозаика или квадратная решётка — это замощение плоскости равными квадратами, расположенными сторона к стороне, при этом вершины четырёх смежных квадратов находятся в одной точке. Символ Шлефли мозаики — {4,4}, означающий, что вокруг каждой вершины имеется 4 квадрата.
Квадратная мозаика | |
---|---|
![]() | |
Тип | Правильная мозаика[англ.] |
Конфигурация граней | 4.4.4.4 (или 44) ![]() |
Конфигурация граней | V4.4.4.4 (или V44) |
Символ Шлефли | {4,4} |
Символ Витхоффа | 4 | 2 4 |
Диаграммы Коксетера — Дынкина | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Симметрия | p4m, [4,4], (*442) |
Симметрия вращения | ], p4, [4,4]+, (442)| |
Двойственная мозаика | самодвойственны |
Свойства | вершинно транзитивная гране транзитивная рёберно транзитивная |
Конвей называл эту мозаику quadrille (кадриль).
Внутренний угол квадрата составляет 90 градусов, так что четыре квадрата в вершине дают полный угол в 360 градусов. Мозаика является одной из трёх правильных мозаик на плоскости. Другие две — треугольная мозаика и шестиугольная мозаика.
Существует 9 различных однородных раскрасок квадратной мозаики. Цвета 4 квадратов по индексам цвета вокруг вершины: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Помечены через (i) случаи с простой зеркальной симметрией и через (ii) случаи со скользящей зеркальной симметрией. Три из этих вариантов можно рассматривать в той же фундаментальной области как редуцированные раскраски — 1112i получается из 1213, 1123i из 1234, а 1112ii из 1123ii.
Шахматная раскраска (цвета 1212) является основой для многих игр и головоломок, например, поле шахматной доски представляет собой квадратный паркет, также и для многих других игр на клетчатом поле, кроссвордов, полимино, модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов и т. п.
Доска одного цвета (цвета 1111) используется, например, в игре Го.
Эта мозаика топологически является частью последовательности правильных многогранников и мозаик, продолжающейся в гиперболической плоскости: {4,p}, p=3,4,5…
Квадратная мозаика являются частью последовательности правильных многогранников и мозаик, имеющих четыре грани на вершину. Последовательность начинается с октаэдра, символы Шлефли последовательности — {n,4}, а диаграммы Коксетера —
при n, стремящемся к бесконечности.
Варианты симметрии *n42 квазиправильных двойственных мозаик: V(4.n)2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия *4n2 [n,4] |
Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | Некомпактные | ||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[iπ/λ,4] | ||||
Мозаика Конф. |
![]() V4.3.4.3 |
![]() V4.4.4.4 |
![]() V4.5.4.5 |
![]() V4.6.4.6 |
![]() V4.7.4.7 |
![]() V4.8.4.8 |
![]() V4.∞.4.∞ |
V4.∞.4.∞ |
Варианты симметрии *n42 расширенных мозаик: n.4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия [n,4], (*n42) |
Сферические | Евклидовы | Компактные гиперболические | Паракомпактные | |||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4] |
*∞42 [∞,4] | |||||
Расширенные тела |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | ||||
Конфиг. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Ромбические тела конфиг. |
![]() V3.4.4.4 |
![]() V4.4.4.4 |
![]() V5.4.4.4 |
![]() V6.4.4.4 |
![]() V7.4.4.4 |
![]() V8.4.4.4 |
![]() V∞.4.4.4 |
Подобно однородным многогранникам существует восемь однородных мозаик[англ.], имеющих в основе правильную квадратную мозаику.
Рисуя оригинальные грани красным цветом, оригинальные вершины жёлтым, а оригинальные рёбра синим, получим 8 различных мозаик. Однако существует только три топологически различных мозаики — квадратная мозаика, усечённая квадратная мозаика и плосконосая квадратная мозаика.
![]() | ![]() |
Другие четырёхугольные мозаики могут быть топологически эквивалентны квадратным мозаикам (4 четырёхугольника при каждой вершине).
Изоэдральные мозаики имеют одинаковые грани (транзитивность по граням) и они вершинно транзитивны. Имеется 18 вариантов, при этом 6 имеют треугольные грани, не соединяющиеся ребро-к-ребру, и ещё 6 состоят из четырёхугольников с двумя параллельными рёбрами (трапеций). Приведённая симметрия предполагает, что все грани выкрашены в один цвет[2].
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Квадрат p4m, (*442) |
Четырёхугольник p4g, (4*2) |
Прямоугольник pmm, (*2222) |
Параллелограмм p2, (2222) |
Параллелограмм pmg, (22*) |
Ромб cmm, (2*22) |
Ромб pmg, (22*) |
---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() | |
Трапеция cmm, (2*22) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Дельтоид pmg, (22*) |
Четырёхугольник pgg, (22×) |
Четырёхугольник p2, (2222) |
Квадратную мозаику можно использовать для упаковки кругов, если размещать круги одинакового диаметра с центрами в вершинах квадратов. Каждый круг соприкасается с четырьмя другими кругами упаковки (контактное число)[3]. Плотность упаковки равна . Существует 4 однородных раскраски упаковки кругов.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Существует 3 правильных комплексных апейрогона, имеющих те же вершины, что и квадратная мозаика. Правильные комплексные апейрогоны имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r ограничены выражением 1/p + 2/q + 1/r = 1. Здесь предполагается, что рёбра содержат p вершин, а вершинная фигура r-гональна[4].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.