Двойственный многогранник
многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань дво Из Википедии, свободной энциклопедии
многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань дво Из Википедии, свободной энциклопедии
Многогранник, двойственный (или дуальный) к заданному многограннику — многогранник, у которого каждой грани исходного многогранника соответствует вершина двойственного, каждой вершине исходного — грань двойственного. Количество рёбер исходного и двойственного многогранника одинаково. Многогранник, двойственный двойственному, гомотетичен исходному.
 | Эта статья или раздел нуждается в переработке. |
Простейший способ построения двойственного многогранника таков:
| Многогранник | Двойственный |
|---|---|
| Тетраэдр | Он же (самодвойственный) |
| Октаэдр | Куб |
| Икосаэдр | Додекаэдр |
| Кубооктаэдр | Ромбододекаэдр |
| Икосододекаэдр | Ромботриаконтаэдр |
Для однородных многогранников грань двойственного многогранника может быть найдена из вершинной фигуры исходного многогранника с помощью построения Дормана Люка. Это построение первоначально было описано Канди и Роллеттом (Cundy, Rollett, 1961) и позднее было обобщено Веннинджером (Wenninger, 1983).
В качестве примера возьмём вершинную фигуру (красная) кубооктаэдра, которая используется для получения грани (голубая) ромбододекаэдра.
Перед началом построения получаем вершинную фигуру ABCD путём рассечения каждого прилежащего ребра в середине.
Построение Дормана Люка происходит следующим образом:
В этом примере размер вершинной фигуры выбран таким образом, что её описанная окружность лежит на полувписанной сфере[англ.] (сфере, касающейся всех рёбер) кубооктаэдра, которая также становится полувписанной сферой двойственного ему ромбододекаэдра.
Конструкция Дормана Люка может быть использована только тогда, когда многогранник имеет такую полувписанную сферу и вершинная фигура циклична, т.е. для однородных многогранников.
Топологически, самодвойственные многогранники — это те многогранники, двойственные которым имеют в точности ту же связь между вершинами, рёбрами и гранями. В абстрактном понимании, это многогранники с идентичными диаграммами Хассе.
Геометрически самодвойственный многогранник является не только топологически самодвойственным, полярное преобразование многогранника относительно некоторой точки, обычно, его центроида, является конгруэнтной фигурой. Например, двойственный многогранник правильного тетраэдра является другим правильным тетраэдром, (центрально симметричным относительно центра тетраэдра).
Любой многоугольник топологически самодвойственен (он имеет то же количество вершин и рёбер, и они меняются местами в результате двойственности), но, в общем случае, не являются геометрически самодвойственными (если рассматривать его как жёсткое тело). Правильные многоугольники геометрически самодвойственны — все углы равны, как и рёбра.
Наиболее принятое геометрическое представление выпуклого многогранника — представление в канонической форме, когда все его рёбра должны касаться некой сферы, центр которой совпадает с центром тяжести точек касания. Если такая фигура самодвойственна, полярное преобразование конгруэнтно ей.
Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды с n сторонами в канонической форме. Другое бесконечное семейство, удлинённые пирамиды[англ.], состоит из многогранников, которые можно представить как пирамиды, сидящие на вершинах призм (с тем же числом сторон). Добавьте усечённую пирамиду снизу призмы, и вы получите ещё одно бесконечное семейство.
Существует много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, существует 6 различных многогранников с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами[1]
Можно найти также невыпуклые самодвойственные многогранники, такие как выемчатый додекаэдр[англ.]
 3 |
 4 |
 5 |
 6[англ.] |
 3 |
 4[англ.] |
 5 |
 3 |
 4 |
 5 |
 6 |
 7 |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
