Икосододекаэдр

Икосододека́эдр^[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

Икосододекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный, квазиправильный
Комбинаторика
Элементы	32 грани 60 рёбер 30 вершин Χ = 2
Грани	20 треугольников 12 пятиугольников
Конфигурация вершины	3.5.3.5
Двойственный многогранник	ромботриаконтаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	aD
Символ Шлефли	r{3,5}
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \pi +\arccos {\frac {3+16{\sqrt {5}}}{45}}\approx 1{,}17\pi .}$

Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142,62^{\circ }.}$

Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

Иллюстрация Леонардо да Винчи к трактату Луки Пачоли «О божественной пропорции» (1509)

В координатах

Икосододекаэдр с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm 2\Phi \right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm \Phi$ ;\;\pm \Phi ^{2}\right),}

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если икосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29{,}3059828a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}8355259a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=\Phi a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a.}$

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{5}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}\;a\approx 1{,}3763819a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{5}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\sqrt {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}\;a\approx 1{,}5115226a.}$

Примечания

1. Веннинджер, 1974, с. 20, 36.
2. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
3. Люстерник, 1956, с. 183.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.