Конъюнкция

У этого термина существуют и другие значения, см. Конъюнкция (значения).

Конъю́нкция (от лат. conjunctio — «союз, связь») — логическая операция, по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние, иногда просто «И»^[1].

Конъюнкция
И, AND
Диаграмма Венна
Определение	${\displaystyle xy}$
Таблица истинности	${\displaystyle (0001)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\displaystyle xy}$
Конъюнктивная	${\displaystyle xy}$
Полином Жегалкина	${\displaystyle xy}$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Да
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Да
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Конъюнкция может быть бинарной операцией (т. e. иметь два операнда), тернарной операцией (т. e. иметь три операнда), или n-арной операцией (т. e. иметь n операндов).

Инверсией конъюнкции является штрих Шеффера.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции конъюнкции:

${\displaystyle a\land b,\quad a\And \And b,\quad a\And b,\quad a\cdot b,\quad a\,\,\mathrm {AND} \,\,b,\quad \min(a,b)}$

(в случае использования точки, как знака логического умножения, этот знак, как и при обычном умножении в алгебре, может быть опущен: ${\displaystyle ab}$^[1]).

При этом обозначение ${\displaystyle a\land b}$, рекомендованное стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логике, где оно, впрочем, конкурирует со знаком амперсанда &^[1]; последний, появившись ещё в I веке до н. э. как графическое сокращение (лигатура) латинского союза et ‘и’, уже Якобом и Иоганном Бернулли в 1685 году использовался в качестве логической связки (у них он, однако, связывал не высказывания, а понятия)^[2][3]. Джордж Буль (а за ним — и другие пионеры систематического применения символического метода к логике: У. С. Джевонс, Э. Шрёдер, П. С. Порецкий) обозначал конъюнкцию знаком ${\displaystyle \cdot }$ — как обычное умножение^[4]. Символ ⋀ (перевёрнутый знак дизъюнкции) в качестве обозначения конъюнкции был предложен Арендом Гейтингом (1930)^[5].

Обозначение ⋀ для конъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60^[6]. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для конъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .AND. и & (с возможностью замены последнего на ключевое слово AND)^[7]; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово and^[8][9]; в языках C и C++ применяются обозначения & для побитовой конъюнкции и && для логической конъюнкции^[10]).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что ${\displaystyle 0<1}$), оказывается, что ${\displaystyle (a\land b)\,=\,\min(a,b).}$ Таким образом, конъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления минимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию конъюнкции в системах многозначной логики (хотя иногда рассматривают и другие способы обобщения конъюнкции — например, такой: ${\displaystyle (a\land b)\,=\,ab\;(\operatorname {mod} k)}$ в случае k-значной логики, в которой множество значений истинности представлено начальным отрезком ${\displaystyle \{0,\dots ,k-1\}}$ полугруппы ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральных чисел)^[11][12].

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).

Правило: результат равен наименьшему операнду.

Описание.
В булевой алгебре конъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$. Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle false,true}$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина», но при таком обозначении необходимо дополнительно доопределять старшинство, например, ${\displaystyle true>false}$, при цифровом обозначении старшинство естественно ${\displaystyle 1>0}$.
Правило: результат равен ${\displaystyle 1}$, если все операнды равны ${\displaystyle 1}$; во всех остальных случаях результат равен ${\displaystyle 0}$.

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\land b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

для тернарной конъюнкции

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a\land b\land c}$
0	0	0	0
1	0	0	0
0	1	0	0
1	1	0	0
0	0	1	0
1	0	1	0
0	1	1	0
1	1	1	1

Конъюнкция коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна по отношению к слабой дизъюнкции^[13].

Многозначная логика

Операции, называемой в двоичной логике конъюнкция, в многозначных логиках обычно сопоставляется операция минимум: ${\displaystyle min(a,b)}$, где ${\displaystyle a,b\in \{0,\dots ,k-1\},}$ а ${\displaystyle k}$ — значность логики; впрочем, возможны и другие варианты обобщения обычной конъюнкции на многозначный случай. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle k-1}$.

Название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое «И», логическое умноже́ние и просто «И» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
${\displaystyle a\land b\to a}$
${\displaystyle a\land b\to b}$
${\displaystyle a\to (b\to (a\land b))}$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Основная статья: Логические элементы § Конъюнкция (логическое умножение). Операция И

Логический элемент «И»

Логический элемент, реализующий функцию конъюнкции, называется схемой совпадения^[13]. Мнемоническое правило для конъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда на всех входах есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «0»

Теория множеств

С точки зрения теории множеств, конъюнкция аналогична операции пересечения.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое (поразрядное) «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а побитовое — символом «&». В терминологии, используемой в C#, операцию «&» принято называть логическим «И», а операцию «&&» — условным «И», поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «and», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата ${\displaystyle false}$ или ${\displaystyle true}$. Например:

if (a & b & c) 
{
    /* какие-то действия */
};

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов. Принцип работы условного «И» в аналогичной ситуации:

a = false; b = true; c = true;
if (a && b && c) 
{
    /* какие-то действия */ 
};

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, так как дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен ${\displaystyle true}$, если оба операнда равны ${\displaystyle true}$ (для числовых типов не равны ${\displaystyle 0}$). В любом другом случае результат будет равен ${\displaystyle false}$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно ${\displaystyle false}$, то значение правого операнда не вычисляется (вместо ${\displaystyle b}$ может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

if (a != 0 && b / a > 3) 
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт деления на ноль.

Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	${\displaystyle 01100101_{2}}$
b =	${\displaystyle 00101001_{2}}$
то
a И b =	${\displaystyle 00100001_{2}}$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как ${\displaystyle 1}$, а «ложь» как ${\displaystyle 0}$. При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребёнка» — не то же самое, что «Мэри родила ребёнка и вышла замуж».

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее или
• Импликация
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Таблица истинности
• Закон тождества

Примечания

1. Кондаков, 1975, с. 264—266, 534—536.
2. Ampersand  (неопр.). // Website Online Etymology Dictionary. Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 18 февраля 2011 года.
3. Кондаков, 1975, с. 67.
4. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с. — С. 321, 348, 352, 368.
5. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (неопр.). // Website Jeff Miller Web Pages. Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 21 августа 2011 года.
6. Кондаков, 1975, с. 30.
7. Пратт Т. Языки программирования: разработка и реализация. — М.: Мир, 1979. — 574 с. — С. 352, 439.
8. Грогоно П. Программирование на языке Паскаль. — М.: Мир, 1982. — 384 с. — С. 51.
9. Вегнер П. Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
10. Эллис М.^[англ.], Строуструп Б. Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
11. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1979. — 272 с. — С. 9—10, 37.
12. Рвачёв В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с. — С. 38, 66.
13. Словарь по кибернетике. 2-е изд / Под ред. В. С. Михалевича. — Киев: Украинская советская энциклопедия, 1989. — 751 с. — ISBN 5-88500-008-5.

Литература

• Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 720 с.