Дизъюнкция

Символы со сходным начертанием: V · v · Ѵ · ѵ · Ⅴ · ν

Дизъю́нкция (от лат. disjunctio — «разобщение»), логи́ческое сложе́ние, логи́ческое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу»^[1].

Дизъюнкция
ИЛИ, OR
Диаграмма Венна
Определение	${\displaystyle x+y}$
Таблица истинности	${\displaystyle (0111)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\displaystyle x+y}$
Конъюнктивная	${\displaystyle x+y}$
Полином Жегалкина	${\displaystyle x\oplus y\oplus xy}$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Да
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Да
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и ${\displaystyle n}$-арной (имеющей ${\displaystyle n}$ операндов) для произвольного ${\displaystyle n}$.

Запись может быть префиксной — знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной — знак операции стоит между операндами или постфиксной — знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.

Инверсией дизъюнкции является стрелка Пирса.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:

${\displaystyle a\lor b,\;a}$ || ${\displaystyle b,\;a}$ | ${\displaystyle b,\;a~{\mbox{OR}}\,\,b}$${\displaystyle ,\;\max(a,b).}$

При этом обозначение ${\displaystyle a\lor b}$, рекомендованное международным стандартом ISO 31-11, наиболее широко распространено в современной математике и математической логике^[2]. Появилось оно не сразу: Джордж Буль, положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию, которую обозначал знаком +), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|·. Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак +, но уже применительно к обычной дизъюнкции^[3]. Символ ${\displaystyle \lor }$ как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов»^[4] Бертрана Рассела (1908); он образован от лат. vel, что означает «или»^[5][6].

Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60^[7]. Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров, в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения .OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR)^[8]; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or^[9][10]; в языках C и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции^[11]).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что ${\displaystyle 0<1}$), оказывается, что ${\displaystyle (a\lor b)\,=\,\max(a,b).}$ Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики^[12][13].

Булева алгебра

Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ», логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ»). При этом результат равен наибольшему операнду.

В булевой алгебре дизъюнкция — это функция двух, трёх или более переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Таким образом, результат равен ${\displaystyle 0}$, если все операнды равны ${\displaystyle 0}$; во всех остальных случаях результат равен ${\displaystyle 1}$.

Таблица истинности
${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\lor b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a\lor b\lor c}$
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция, в многозначных логиках называется максимум: ${\displaystyle max(a,b)}$, где ${\displaystyle a,b\in [0,...,n-1]}$, а ${\displaystyle n}$ — значность логики. Возможны и другие варианты^[чего?]. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов ${\displaystyle 0,1}$.

Название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция, логи́ческое «ИЛИ», логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

• ${\displaystyle a\to a\lor b}$
• ${\displaystyle b\to a\lor b}$
• ${\displaystyle (a\to c)\to ((b\to c)\to ((a\lor b)\to c))}$

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Основная статья: Логические элементы § Дизъюнкция (логическое сложение). Операция ИЛИ

Логический элемент 2ИЛИ

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Теория множеств

С точки зрения теории множеств, дизъюнкция аналогична операции объединения.

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое — символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата ${\displaystyle false}$ или ${\displaystyle true}$. Например:

if (a || b)
{
    /* какие-то действия */
};

Результат будет равен ${\displaystyle false}$, если оба операнда равны ${\displaystyle false}$ или ${\displaystyle 0}$. В любом другом случае результат будет равен ${\displaystyle true}$.

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно ${\displaystyle true}$, то значение правого операнда не вычисляется (вместо ${\displaystyle b}$ может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

if (a == NULL || a->x == 0)
{
    /* какие-то действия */
};

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	${\displaystyle 01100101_{2}}$
b =	${\displaystyle 00101001_{2}}$
то
a ИЛИ b =	${\displaystyle 01101101_{2}}$

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и (или)», иногда «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как ${\displaystyle 1}$, а «ложь» как ${\displaystyle 0}$.

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции — строгой дизъюнкции (исключающего «ИЛИ»).

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Импликация
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Условная дизъюнкция
• Таблица истинности
• Закон тождества

Примечания

1. Гутников В. С. . Интегральная электроника в измерительных приборах. — Л.: Энергия, 1974. — 144 с. — С. 14—16.
2. Кондаков, 1975, с. 534.
3. Стяжкин Н. И. . Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967. — 508 с. — С. 320, 349, 352, 368.
4. Russell B.  Mathematical Logic as Based on the Theory of Types // American Journal of Mathematics. — 1908. — Vol. 30, no. 3. — P. 222—262. Архивировано 4 апреля 2019 года.
5. Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (неопр.). // Website Jeff Miller Web Pages. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 20 февраля 1999 года.
6. Кондаков, 1975, с. 149—150.
7. Кондаков, 1975, с. 30.
8. Пратт Т. . Языки программирования: разработка и реализация. — М.: Мир, 1979. — 574 с. — С. 352, 439.
9. Грогоно П. . Программирование на языке Паскаль. — М.: Мир, 1982. — 384 с. — С. 51.
10. Вегнер П. . Программирование на языке Ада. — М.: Мир, 1983. — 240 с. — С. 68.
11. Эллис М., Строуструп Б. . Справочное руководство по языку программирования C++ с комментариями. — М.: Мир, 1992. — 445 с. — ISBN 5-03-002868-4. — С. 65, 86—87.
12. Яблонский С. В. . Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1979. — 272 с. — С. 9—10, 37.
13. Рвачёв В. Л. . Теория R-функций и некоторые её приложения. — Киев: Наукова думка, 1982. — 552 с. — С. 38, 66.

Литература

• Кондаков Н. И. . Логический словарь-справочник. 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 720 с.