Дистрибутивность

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон^[1] — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»^[2], если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

${\displaystyle (\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$ — дистрибутивность слева;

${\displaystyle (\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)}$ — дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности^{[уточнить]}, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

${\displaystyle -(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y}$

Аналогично,

${\displaystyle -(x-y)=-x+y;}$

${\displaystyle -(x+y+z)=-x-y-z;}$

${\displaystyle -(x+y-z)=-x-y+z;}$

${\displaystyle -(x-y+z)=-x+y-z;}$

${\displaystyle -(x-y-z)=-x+y+z}$

Например,

${\displaystyle -(2-6+17)=-2+6-17=-13}$

Примечания

1. Так это свойство называется в учебниках для младших классов
2. Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

См. также

• Ассоциативность
• Коммутативность