Loading AI tools
система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел Из Википедии, свободной энциклопедии
Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Кватернион | |
---|---|
Дата основания, создания, возникновения | 1843[1] |
Предыдущее по порядку | комплексное число |
Следующее по порядку | Алгебра Кэли |
Первооткрыватель или изобретатель | Уильям Роуэн Гамильтон[1] |
Дата открытия (изобретения) | 1843 |
Определяющая формула | |
Обозначение в формуле | и |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики[2].
Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[3].
Кватернионы можно определить как сумму
где — вещественные числа
X | 1 | i | j | k |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | i | j | k |
i | i | -1 | k | -j |
j | j | -k | -1 | i |
k | k | j | -i | -1 |
Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:
Произведение определяется следующим образом:
где обозначает скалярное произведение, а — векторное произведение.
В частности:
Заметим, что:
Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде
или эквивалентно
где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
При такой записи:
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой[4]:
здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .
Такое представление имеет несколько замечательных свойств:
Для кватерниона
кватернион называется скалярной частью а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным.
Для кватерниона сопряжённым называется[5]:
Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке[6]:
Для кватернионов справедливо равенство
Так же, как и для комплексных чисел[7],
называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.
В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: .
Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.
Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.
Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так[5]: .
Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.
По теореме Фробениуса тела , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:
Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .
В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: .
Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы такие, что все — целые и одинаковой чётности.
Целый кватернион называется
если таким же свойством обладает его норма.
Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, ).
Существует 24 целых единичных кватерниона:
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3-мерным многогранником-кубооктаэдром).
Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.
Теорема.[8] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид
где , , , … — целые единичные кватернионы.
Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:
Общее число разложений такого кватерниона равно
Знак кватерниона вычисляется так:
Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:
В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде
Здесь — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .
Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .
Отображение алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
где — поле действительных чисел. Если является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых отображение
является линейным отображением. Если — тождественное отображение (), то для любых мы можем отождествить тензорное произведение с отображением
Для любого линейного отображения существует тензор , , такой, что
В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение и тензор .
Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел
Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид
где — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов
и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых[9]
что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[10].
Непрерывное отображение называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение называется производной отображения .
Производная может быть представлена в виде[11]
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.
Для произвольного кватерниона верно равенство
Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.
Аналогично одноимённой операции для векторов:
Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .
Определение модуля кватерниона можно видоизменить:
Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:
Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам[13]. Также кватернионы рассматривал Эйлер. Б. О. Родриг (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов[14][15].
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной[15].
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (который также занимался указанной задачей) в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с дуплетами (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (триплеты) не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать четвёрки — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал кватернионами[16]. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно[17].
Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов[6], Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Штуди и Котельников; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда[18]. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[19] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд)[20]. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов А. У. Конвеем[англ.] и Зильберштейном[пол.][21]. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов[22].
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[23] и теории относительности[24]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[25], а также в вычислительной механике[26][27], в инерциальной навигации и теории управления[28][29]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[30].
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[31]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[26][27].
Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[32]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[33] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[34].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.