submulțime a unui inel comutativ în care dacă un produs este un element al său, cel puțin unul din factorii produsului este un element al său From Wikipedia, the free encyclopedia
În algebră un ideal prim[1] este o submulțime a unui inel care are mai multe proprietăți importante asemănătoare cu cele ale numerelor prime (întregi) din inel.[2][3] Idealele prime pentru numerele întregi sunt mulțimile care conțin toți multiplii unui număr prim dat, împreună cu idealul nul.
Idealele primitive sunt prime, iar idealele prime sunt atât primare, cât și semiprime.
Un ideal P dintr-un inel comutativ R este prim dacă are următoarele două proprietăți:[1]
Acest lucru generalizează următoarea proprietate a numerelor prime, cunoscută sub numele de lema lui Euclid(d): dacă p este un număr prim și dacă p divide un produs ab de două numere întregi, atunci p divide pe a sau pe b. Deci se poate spune că un număr întreg pozitiv n este un număr prim dacă și numai dacă este un ideal prim în
O utilizare a idealelor prime apare în geometria algebrică, unde varietățile sunt definite ca mulțimile de zerouri ale idealelor în inele de polinoame. Rezultă că varietățile ireductibile corespund idealelor prime. În abordarea modernă abstractă, se începe cu un inel comutativ arbitrar și se transformă mulțimea idealelor sale prime, numită și spectru, într-un spațiu topologic și astfel se pot defini generalizări ale varietăților numite scheme(d), care își găsesc aplicații nu numai în geometrie, ci și în teoria numerelor.
Introducerea idealelor prime în teoria numerelor algebrice(d) a fost un pas important înainte: s-a realizat că proprietatea importantă a factorizării unice exprimată în teorema fundamentală a aritmeticii nu este valabilă în fiecare inel al numerelor întregi algebrice, dar un substitut a fost găsit când Richard Dedekind a înlocuit elementele cu idealei și elementele prime cu idealele prime; v. inel Dedekind(d).
Noțiunea de ideal prim poate fi generalizată la inele necomutative folosind o definiție comutativă propusă în 1928 de Wolfgang Krull.[6] Următorul conținut poate fi găsit în lucrări precum cele ale lui Goodearl[7] sau Lam.[8] Dacă R este un inel (posibil necomutativ) iar P este un ideal propriu al R, se poate spune că P este prim dacă pentru oricare două ideale A și B din R, dacă produsul idealelor, AB, este conținut în P, atunci cel puțin unul dintre A și B este conținut în P.
Se poate arăta că această definiție este echivalentă cu cea comutativă în inele comutative. Este ușor de verificat că dacă un ideal al unui inel necomutativ R satisface definiția comutativă pentru a fi prim, atunci el satisface și versiunea necomutativă. Un ideal P care satisface definiția comutativă a pentru a fi prim este uneori numit ideal prim complet, pentru a-l distinge de alte ideale doar prime din inel. Idealele prime complete sunt ideale prime, dar reciproca nu este adevărată. De exemplu, idealul nul din inelul matricilor n × n peste un corp este un ideal prim, dar nu este prim complet.
Acest lucru este asemănător cu punctul de vedere istoric al idealelor ca numere ideale, așa cum pentru inelul „A este conținut în P" este un alt mod de a spune că „P divide A”, iar idealul unității R reprezintă unitatea.
Formulările echivalente ale idealului prim P ≠ R au următoarele proprietăți:
Idealele prime din inelele comutative sunt caracterizate prin faptul că au complementare închise multiplicativ în R și, cu o ușoară modificare, o caracterizare similară poate fi formulată pentru idealele prime din inelele necomutative. O submulțime vidă S ⊆ R se numește m-sistem dacă pentru orice a și b din S, există r în R, astfel încât arb este în S. (Evident, mulțimile închise multiplicativ sunt m-sisteme.) Următoarea afirmație poate fi atunci adăugată la lista de condiții echivalente de mai sus: complementara R∖P este un m-sistem.
Idealele prime pot fi adesea produse ca elemente maximale ale anumitor colecții de ideale. De exemplu:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
![{\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/096a47b8d74b985081288a6194e5035494194845)
![{\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f308fbebb8ac58938655706d0b75e7a167e25a23)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5439e78a42203742deb356f54601fb44098fb93)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0952ec2890ea8b86cd3640c46cfc5d8a1cb5ab1e)
![{\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76c089106548e8f68e426eb217e5d2a97abfd71)
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc9a4e78cbf0b4f1f5c220bbe614fed5fb6e48b1)
![{\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2edb92fffafef42e464dc36c520620b7d0c8d61)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bef1bb44559f9eb88d544757f8f49058b6ef3374)
![{\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5494ede84357122a2ee3f4a0e1e8ac4a3b3dbfb)
