Mulțime vidă

În matematică, mulțimea vidă este mulțimea care nu conține niciun element. Se notează cu ${\displaystyle \{\}}$, cu ${\displaystyle \emptyset }$ sau cu ${\displaystyle \varnothing }$ (simbol introdus de către Bourbaki).

Existența mulțimii vide este o noțiune subtilă în fundamentele matematicii. În unele sisteme axiomatice, necesită o axiomă specifică (axioma mulțimii vide); în altele poate fi demonstrată. De exemplu, în sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel, dat fiind existența unei mulțimi ${\displaystyle w}$, mulțimea vidă se poate defini altfel:

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\},}$

iar unicitatea ei se deduce din axioma extensivității (de aceea vorbim de mulțimea vidă ci nu de o mulțime vidă).

Proprietăți

Mulțimea vidă are următoarele proprietăți:

• ${\displaystyle \forall A,\ A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing }$
• ${\displaystyle 2^{\varnothing }=\{\varnothing \}}$
• ${\displaystyle \mathrm {Card} (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle \forall A,\ \varnothing \subseteq A}$
• ${\displaystyle \forall A,\ A\cup \varnothing =A}$
• ${\displaystyle \forall A,\ A\cap \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle \forall A,\ A\times \varnothing =\varnothing }$

Pentru orice proprietate logică P:

• ${\displaystyle \forall x\in \varnothing ,\ P(x).}$
• ${\displaystyle \neg (\exists x\in \varnothing ,\ P(x)).}$

Bibliografie

• Gh. Sirețchi, Analiză matematică, Editura didactică și pedagogică.