Funcție algebrică
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, o funcție algebrică este o funcție care poate fi definită ca rădăcină a unei ecuații polinomiale. Destul de des funcțiile algebrice sunt expresii algebrice care au un număr finit de termeni, care implică doar operații algebrice: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, ridicarea la o putere întreagă și extragerea de radicali (putere fracționară).[1][2] Exemple de astfel de funcții sunt:
Totuși, unele funcții algebrice nu pot fi exprimate prin astfel de expresii finite (aceasta este teorema Abel-Ruffini). Acesta este cazul, de exemplu, pentru radicalii Bring, care este funcția implicit definită de
.
Mai exact, o funcție algebrică de grad n într-o variabilă x este o funcție care este continuă pe domeniul său și satisface o ecuație polinomială
unde coeficienții sunt întregi. Se poate arăta că se obține aceeași clasă de funcții dacă pentru coeficienții
sunt acceptate numere algebrice. Dacă în coeficienți apar numere transcendente, funcția nu este, în general, algebrică, dar este algebrică în domeniul acestor coeficienți.
Valoarea unei funcții algebrice pentru un argument rațional și, mai general, un argument algebric, este întotdeauna un număr algebric. Uneori, sunt luați în considerare coeficienții polinomiali pe un [[inel (matematică) |inel] R și se vorbește despre funcții algebrice pe R.
O funcție care nu este algebrică se numește funcție transcendentă, așa cum este de exemplu cazul funcțiilor . O compunere a funcțiilor transcendente poate da o funcție algebrică:
.
O ecuație polinomială de gradul al n-lea are până la n rădăcini reale (și exact n rădăcini pe un corp algebric închis, cum ar fi numerele complexe). O ecuație polinomială nu definește implicit o singură funcție, ci până la n funcții. De exemplu ecuația cercului unitate:
Acesta determină y până la un semn:
O funcție algebrică cu m variabile este definită similar, ca o funcție Care rezolvă o ecuație polinomială cu m + 1 variabile:
În mod normal se presupune că p trebuie să fie un polinom ireductibil. Existența unei funcții algebrice este apoi garantată de teorema funcției implicite.
În mod formal o funcție algebrică cu m variabile pe domeniul K este un element al închiderii algebrice a domeniului funcțiilor raționale K(x1, ..., xm).