Compus de zece tetraedre

În geometrie compusul din zece tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a icosaedrului, fie ca un compus. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.

Compus de zece tetraedre
Descriere
Tip	compus poliedric regulat UC05 - UC06 - UC07
Fețe	40
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	20
Configurația vârfului	3.3.3[1]
Configurația feței	V3.3.3
Diagramă Coxeter	2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}[2]
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (Ih) Constituenți: tetraedrică chirală (T)
Volum	≈1,178 a3   (a = latura)
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	Constituenți: 10 tetraedre
Figura vârfului

Poate fi considerat și o fațetare a unui dodecaedru regulat.

Are indicele de compus uniform UC₀₆ și indicele Wenninger 25.

Compusul

Ca pavare sferică

Este un compus poliedric din zece tetraedre și are simetrie icosaedrică completă (I_h). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din poliedre platonice identice.

Are aceeași configurație a vârfurilor ca și dodecaedrul.

Compusul de cinci tetraedre reprezintă două jumătăți chirale ale acestui compus (deci poate fi considerat un „compus de doi compuși de cinci tetraedre”).

Poate fi construit din compusul de cinci cuburi prin înlocuirea fiecărui cub cu o stella octangula care are aceleași vârfuri cu cubul (deci poate fi considerat un „compus din cinci compuși de două tetraedre”).

Are o densitate mai mare decât 1.

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de:

${\displaystyle \left(\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}},\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}},\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\right)}$,

plus toate permutările lui:

${\displaystyle \left(\,\pm {\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{8}},\,\pm {\frac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{8}},\,0\,\right)}$.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{6}}\,a^{3}\approx 1,178511~a^{3}.}$

Ca stelare

Compusul de zece tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.

Diagrama stelării	Nucleul stelării	Anvelopa convexă
	icosaedru	dodecaedru

Compusul de zece tetraedre în dodecaedru

Ca fațetare

Este o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată. Pentagramele concave pot fi observate pe compus în poziția fețelor pentagonale ale dodecaedrului.

Ca poliedru simplu

Dacă este tratat ca un poliedru simplu, neconvex fără suprafețe care se intersectează, are 180 de fețe (120 de triunghiuri și 60 de patrulatere concave), 122 de vârfuri (60 de gradul 3, 30 de gradul 4, 12 de gradul 5 și 20 de gradul 12), și 300 de muchii, având o caracteristică Euler de ${\displaystyle 122-300+180=+2.}$

Note

1. e, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
2. Coxeter, Regular polytopes, p. 50

Bibliografie

• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
• en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși regulați

• Compus de două tetraedre
• Compus de cinci tetraedre
• Compus de cinci cuburi
• Compus de cinci octaedre

Compuși de tetraedre

• Compus de două tetraedre
• Compus de trei tetraedre
• Compus de patru tetraedre
• Compus de cinci tetraedre
• Compus de șase tetraedre
• Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație
• Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Tetrahedron 10-Compound la MathWorld.
• en VRML model
• en Compounds of 5 and 10 Tetrahedra by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
• en Klitzing, Richard. „3D compound”.
• en Polyhedron Category C1: Compound Regulars: E

	Portal matematică

Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat	Duale ale uniformelor		Compuși regulați			Stelare regulată	Altele
Icosaedru (convex)	Micul icosaedru triambic	Marele icosaedru triambic	Compus de cinci octaedre	Compus de cinci tetraedre	Compus de zece tetraedre	Marele icosaedru	Dodecaedru excavat	Stelarea finală
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.