Compus de cinci cuburi

În geometrie compusul de cinci cuburi este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o fațetare a unui dodecaedru regulat, fie o stelare a triacontaedrului rombic. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.

Compus de cinci cuburi
(animație)
Descriere
Tip	compus poliedric regulat UC08 - UC09 - UC10
Fețe	5 pătrate (vizible ca 360 de triunghiuri)
Laturi (muchii)	60
Vârfuri	20
Configurația vârfului	2(4.4.4)[1]
Configurația feței	V3.3.3.3
Diagramă Coxeter	2{5,3}[5{4,3}][2]
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (Ih) Constituenți: piritoedrică (Th)
Volum	5,000 a3   (a = latura)
Poliedru dual	compus de cinci octaedre
Proprietăți	5 cuburi
Figura vârfului

Modelul compusului în dodecaedru

Compusul

Compusul este o fațetare a unui dodecaedru (unde pentagramele pot fi văzute corelate cu fețele pentagonale). Fiecare cub are 8 dintre cele 20 de vârfuri ale dodecaedrului. Compusul are simetrie icosaedrică (I_h).

	Vederi dinspre axele de simetrie cu 2, 5, respectiv 3 poziții.

Dacă forma este considerată ca un poliedru simplu, neconvex fără suprafețe care se intersectează, atunci are 360 de fețe (toate triunghiulare), 182 de vârfuri (60 de gradul 3, 30 de gradul 4, 12 de gradul 5, 60 de gradul 8 și 20 de gradul 12) și 540 de laturi, dând o caracteristică Euler de ${\displaystyle 182-540+360=2.}$

Aranjamentul laturilor

Are în comun dispunerea laturilor cu micul icosidodecaedru ditrigonal, marele icosidodecaedru ditrigonal și dodecadodecaedrul ditrigonal. Cu acestea, poate forma compuși poliedrici care pot fi considerați și poliedre stelate uniforme degenerate: micul rombicosidodecaedru complex, marele rombicosidodecaedru complex și rombicosidodecaedrul complex.

Compus de cinci cuburi

Ca pavare sferică

Micul icosidodecaedru ditrigonal

Marele icosidodecaedru ditrigonal

Dodecadodecaedru ditrigonal

Compusul de zece tetraedre poate fi format luând fiecare dintre aceste cinci cuburi și înlocuindu-le cu cele două tetraedre ale stellei octangula (care au același aranjament al vârfurilor cu un cub).

Ca stelare

Compusul de cinci cuburi poate fi format ca o stelare a tricontaedrului rombic.
Cele 30 de fețe rombice există în planele celor 5 cuburi.
Anvelopa sa convexă este un dodecaedru.

Diagrama de stelare

Nucleul stelării

stelarea

Dodecaedru (anvelopa convexă)

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de

${\displaystyle \,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm 1\,)}$

cu toate permutările pare ale

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)}$.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=5\,a^{3}=5,000000~a^{3}.}$

Transformarea în dualul său, compusul de cinci octaedre

Dual

Dualul său este compusul de cinci octaedre

Note

1. rhom, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
2. Coxeter, Regular polytopes, p. 50

Bibliografie

• en Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge. p 360
• en Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds, unpublished manuscript.
• en Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 79: 447–457, doi:10.1017/S0305004100052440, MR 0397554.
• en Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp. 135–136, 1989.
• en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși regulați

• Compus de două tetraedre
• Compus de cinci tetraedre
• Compus de zece tetraedre
• Compus de cinci octaedre

Compuși de cuburi

• Compus de două cuburi
• Compus de trei cuburi
• Compus de patru cuburi
• Compus de șase cuburi
• Compus de șase cuburi cu libertate de rotație

Legături externe

• Materiale media legate de compus de cinci cuburi la Wikimedia Commons
• en MathWorld: Cube 5-Compound

• MathWorld: Rhombic Triacontahedron Stellations

• en George Hart: Compounds of Cubes
• en Steven Dutch: Uniform Polyhedra and Their Duals
• en Model VRML^{[nefuncțională]}
• en Klitzing, Richard. „3D compound”.
• en Polyhedron Category C1: Compounds Regulars Rhom

	Portal Matematică

Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat	Duale ale uniformelor		Compuși regulați			Stelare regulată	Altele
Icosaedru (convex)	Micul icosaedru triambic	Marele icosaedru triambic	Compus de cinci octaedre	Compus de cinci tetraedre	Compus de zece tetraedre	Marele icosaedru	Dodecaedru excavat	Stelarea finală
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.