The Fifty-Nine Icosahedra

carte de Donald Coxeter ș.a. From Wikipedia, the free encyclopedia

The Fifty-Nine Icosahedra

The Fifty-Nine Icosahedra (în română Cele cincizeci și nouă de icosaedre) este o carte scrisă și ilustrată de H.S.M. Coxeter, P. Du Val, H.T. Flather și J.F. Petrie. Enumeră stelările icosaedrului regulat (convex, platonic), conform unui set de reguli propuse de J.C.P. Miller.

Thumb
Diagrama de stelare a icosaedrului, cu triunghiul central marcat pentru icosaedrul originar

A fost publicată prima dată de Universitatea din Toronto în 1938, a urmat o a doua ediție de Springer-Verlag în 1982. A treia ediție, a lui Tarquin, din 1999 a inclus noi materiale de referință și fotografii de K. și D. Crennell.

Contribuțiile autorilor

Regulile lui Miller

Deși Miller nu a contribuit direct la carte, a fost un coleg apropiat al lui Coxeter și al lui Petrie. Contribuția sa este imortalizată în setul său de reguli pentru definirea formelor de stelate care ar trebui considerate „în mod corespunzător și distincte”:[1]

(i) Fețele trebuie să se afle în douăzeci de plane, adică planele de delimitare ale icosaedrului regulat.
(ii) Toate părțile care compun fețele trebuie să fie aceleași în fiecare plan, deși pot fi destul de deconectate.
(iii) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să aibă simetrie triunghiulară, cu sau fără reflexie. Acest lucru asigură simetria icosaedrică pentru întregul corp.
(iv) Părțile cuprinse în orice plan trebuie să fie toate „accesibile” în corpul completat (adică trebuie să fie în „exterior”. În anumite cazuri ar trebui să fie necesare modele de dimensiuni enorme pentru a vedea tot exteriorul). Cu un model de dimensiuni obișnuite, unele părți ale „exteriorului” ar putea fi explorate doar de o insectă târâtoare).
(v) Nu se iau în considerare cazurile în care părțile pot fi împărțite în două seturi, fiecare dând un corp cu la fel de multă simetrie ca întreaga figură. Dar se permite combinarea unei perechi enantiomorfe care nu au vreo parte comună (ceea ce de fapt apare într-un singur caz).

Regulile (i) până la (iii) sunt cerințe de simetrie pentru planele fețelor. Regula (iv) exclude găurile ascunse, ca să nu existe două stelări identice în exterior. Regula (v) previne orice compus format din stelări mai simple deconectate.

Coxeter

Coxeter a fost principala forță motrice din spatele lucrării. El a efectuat analiza originală pe baza regulilor lui Miller, adoptând o serie de tehnici precum combinatorica și teoria grafurilor abstractă a căror utilizare într-un context geometric a fost atunci inedită.

El a observat că diagrama de stelare cuprindea multe segmente. Apoi a dezvoltat proceduri pentru manipularea combinațiilor regiunilor din plane adiacente, pentru a enumera formal combinațiile permise de regulile lui Miller.

Thumb

Graful său, reprodus alături, arată conectivitatea diferitelor fețe identificate în diagrama de stelare (vezi mai jos). Simbolurile grecești reprezintă seturi de alternative posibile:

λ poate fi 3 sau 4
μ poate fi 7 sau 8
ν poate fi 11 sau 12

Du Val

Du Val a conceput o notație simbolică pentru a identifica seturile de „celule” (a nu se confunda cu 3-față) congruente, pe baza observației că acestea se află în „straturi” (în original în „cochilii”) în jurul icosaedrului originar. Pe baza acestui fapt, el a testat toate combinațiile posibile conform regulilor lui Miller, confirmând rezultatul abordării mai analitice a lui Coxeter.

Flather

Contribuția lui Flather a fost indirectă: a făcut modele de carton pentru toate cele 59 de cazuri. Când l-a întâlnit prima dată pe Coxeter, el făcuse deja multe stelări, inclusiv câteva exemple care nu satisfăceau regulile lui Miller. El a continuat să realizeze toată seria de cincizeci și nouă de modele, care sunt păstrate în biblioteca matematică a Universității Cambridge. Biblioteca deține și câteva modele care nu satisfac regulile lui Miller, dar nu se știe dacă acestea au fost făcute de Flather sau de studenții de mai târziu ai lui Miller.[2]

Petrie

John Flinders Petrie a fost un prieten de-o viață cu Coxeter și avea o abilitate remarcabilă în vizualizarea geometriei cvadridimensionale. El și Coxeter lucraseră împreună la multe probleme matematice. Contribuția sa directă la cele cincizeci și nouă de icosaedre a fost setul rafinat de desene tridimensionale care oferă o mare parte din fascinația lucrării publicate.

Kate și David Crennell

Pentru cea de-a treia ediție, Kate și David Crennell au revizuit textul și au redesenat figurile. Ei au adăugat și o secțiune de referință care conține tabele, diagrame și fotografii ale unora dintre modelele de la Cambridge (care la acea vreme erau considerate a fi ale lui Flather). Corecțiile aduse acestei ediții au fost publicate online.[3]

Lista celor cincizeci și nouă de icosaedre

Thumb
Diagrama de stelare cu seturile de fețe numerotate
Thumb
Schema celulelor cu notația lui Du Val

Înainte de Coxeter, doar Brückner și Wheeler înregistraseră seturi semnificative de stelări, deși câteva, cum ar fi marele icosaedru, erau cunoscute de mai mult timp. De la publicarea lui The 59..., Wenninger a publicat instrucțiuni despre realizarea unor modele; schema de numerotare folosită în cartea sa a devenit larg folosită, deși el a descris doar câteva stelări.

Note privind lista

Dacă nu se specifică altfel, indexarea este după Crennell:

Crennell

  • La indexarea numerotată adăugată ediției a treia de către Crennell, primele 32 de forme (indici 1–32) sunt forme cu simetrie de reflexie, iar ultimele 27 (indici 33–59) sunt forme chirale fiind enumerate doar formele pe dreapta. Lista folosește ordinea în care stelările sunt descrise în carte.

Celule

  • În notația lui Du Val, fiecare strat este identificat cu caractere aldine, dinspre interior spre exterior: a, b, c, ..., h, unde a este icosaedrul originar. Unele straturi au două tipuri de celule, de exemplu, e se subdivide în e1 și e2. Setul f1 se subdivide în continuare în forme pe dreapta și pe stânga, respectiv f1 și f1 (italic). În cazul în care o stelare are toate celulele prezente în interiorul unui strat exterior, stratul exterior este scris cu majuscule, iar cel interior este omis, de exemplu a + b + c + e1 se scrie Ce1.

Fețe

  • Toate stelările pot fi descrise printr-o diagramă de stelare. În diagrama prezentată aici culorile numerotate indică regiunile diagramei de stelare care trebuie să apară împreună ca o mulțime dacă se dorește să se mențină simetria icosaedrică completă. Diagrama are 13 astfel de mulțimi. Unele dintre acestea se subdivid în perechi chirale (nu sunt prezentate), permițând stelări cu simetrie de rotație, dar nu și de reflexie. În tabel, fețele care sunt văzute de dedesubt sunt indicate printr-un apostrof, de exemplu 3'.

Wenninger

  • Indecșii și numele numerotate au fost alocate arbitrar de către editorul lui Wenninger, în funcție de apariția lor în cartea sa „Modele poliedrice” și nu au nicio legătură cu niciun șir matematic. Doar câteva dintre modelele sale erau de icosaedre. La el numele sunt date sub formă scurtă, „... a icosaedrului”.

Wheeler

  • Wheeler și-a găsit figurile, sau „formele” icosaedrului, alegând segmente de dreaptă din diagrama de stelare. El a distins cu atenție acest lucru de procesul clasic de stelare al lui Kepler. Coxeter și colaboratorii săi au ignorat această distincție și s-au referit la toate drept stelări.

Brückner

  • Max Brückner a realizat și fotografiat modele ale multor poliedre, dintre care doar câteva erau icosaedre. Taf. este o abreviere a lui Tafel („tabel”) din germană.

Observații

Tabelul celor cincizeci și nouă de icosaedre

Unele imagini ilustrează icosaedrul imaginii în oglindă, cu celula f1 în loc de celula f1.

Mai multe informații Crennell, Celule ...
CrennellCeluleFețeWenningerWheelerBrückner Observații Diagrama feței În 3D
1 A004
Icosaedru
1 Icosaedrul Platonic Thumb Thumb
2 B126
Icosaedru
triakis
2Taf. VIII,
Fig. 2
Prima stelare a icosaedrului,
micul icosaedru triambic
Thumb Thumb
3 C223
Compus de cinci octaedre
3Taf. IX,
Fig. 6
Compus de cinci octaedre regulat Thumb Thumb
4 D3 404Taf. IX,
Fig.17
Thumb Thumb
5 E5 6 700 Thumb Thumb
6 F8 9 1027
A doua stelare
19 A doua stelare a icosaedrului Thumb Thumb
7 G11 1241
Marele icosaedru
11Taf. XI,
Fig. 24
Marele icosaedru Thumb Thumb
8 H1342
Stelarea finală
12Taf. XI,
Fig. 14
Stelarea finală a icosaedrului sau Echidnaedru Thumb Thumb
9 e13' 537
A douăsprezecea stelare
0 A douăsprezecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
10 f15' 6' 9 1000 Thumb Thumb
11 g110' 1229
A patra stelare
21 A patra stelare a icosaedrului Thumb Thumb
12 e1f13' 6' 9 1000ThumbThumb
13 e1f1g13' 6' 9 12020 Thumb Thumb
14 f1g15' 6' 9 1200ThumbThumb
15 e24' 6 700ThumbThumb
16 f27' 8022 Thumb Thumb
17 g28' 9'1100ThumbThumb
18 e2f24' 6 800ThumbThumb
19 e2f2g24' 6 9' 1100ThumbThumb
20 f2g27' 9' 1130
A cincea stelare
0 A cincea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
21 De14 532
A șaptea stelare
10 A șaptea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
22 Ef17 9 1025
Compus de zece tetraedre
8Taf. IX,
Fig. 3
Compus de zece tetraedre regulat Thumb Thumb
23 Fg18 9 1231
A șasea stelare
17Taf. X,
Fig. 3
A șasea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
24 De1f14 6' 9 1000ThumbThumb
25 De1f1g14 6' 9 1200ThumbThumb
26 Ef1g17 9 1228
A treia stelare
9Taf. VIII,
Fig. 26
Dodecaedru excavat Thumb Thumb
27 De23 6 705 Thumb Thumb
28 Ef25 6 8018Taf.IX,
Fig. 20
Thumb Thumb
29 Fg210 1133
A opta stelare
14 A opta stelare a icosaedrului Thumb Thumb
30 De2f23 6 834
A noua stelare
13 Icosaedru triambic medial sau
Marele icosaedru triambic
Thumb Thumb
31 De2f2g23 6 9' 1100ThumbThumb
32 Ef2g25 6 9' 1100ThumbThumb
33 f15' 6' 9 1035
A zecea stelare
0 A zecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
34 e1f13' 5 6' 9 1036
A unsprezecea stelare
0 A unsprezecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
35 De1f14 5 6' 9 1000ThumbThumb
36 f1g15' 6' 9 10' 1200ThumbThumb
37 e1f1g13' 5 6' 9 10' 1239
A paisprezecea stelare
0 A paisprezecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
38 De1f1g14 5 6' 9 10' 1200ThumbThumb
39 f1g25' 6' 8' 9' 10 1100ThumbThumb
40 e1f1g23' 5 6' 8' 9' 10 1100ThumbThumb
41 De1f1g24 5 6' 8' 9' 10 1100ThumbThumb
42 f1f2g25' 6' 7' 9' 10 1100ThumbThumb
43 e1f1f2g23' 5 6' 7' 9' 10 1100ThumbThumb
44 De1f1f2g24 5 6' 7' 9' 10 1100ThumbThumb
45 e2f14' 5' 6 7 9 1040
A cincisprezecea stelare
0 A cincisprezecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
46 De2f13 5' 6 7 9 1000ThumbThumb
47 Ef1 5 6 7 9 10 24
Compus de cinci tetraedre
7
(6: pe stânga)
Taf. IX,
Fig. 11
Compus de cinci tetraedre (pe dreapta) Thumb Thumb
48 e2f1g1 4' 5' 6 7 9 10' 12 00ThumbThumb
49 De2f1g1 3 5' 6 7 9 10' 12 00ThumbThumb
50 Ef1g1 5 6 7 9 10' 12 00ThumbThumb
51 e2f1f2 4' 5' 6 8 9 10 38
A treisprezecea stelare
0 A treisprezecea stelare a icosaedrului Thumb Thumb
52 De2f1f2 3 5' 6 8 9 10 00ThumbThumb
53 Ef1f2 5 6 8 9 10 015
(16: pe stânga)
ThumbThumb
54 e2f1f2g1 4' 5' 6 8 9 10' 12 00ThumbThumb
55 De2f1f2g1 3 5' 6 8 9 10' 12 00ThumbThumb
56 Ef1f2g1 5 6 8 9 10' 12 00ThumbThumb
57 e2f1f2g2 4' 5' 6 9' 10 11 00ThumbThumb
58 De2f1f2g2 3 5' 6 9' 10 11 00ThumbThumb
59 Ef1f2g2 5 6 9' 10 11 00ThumbThumb
Închide

Note

Bibliografie

Legături externe

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.