Quadrado

 Nota: Para outros significados, veja Quadrado (desambiguação).

O quadrado é um quadrilátero regular congruente, ou seja, uma figura geométrica com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos.

Quadrado
Quadrilátero regular
Tipo	Polígono regular
Arestas e Vértices	4
Símbolo de Schläfli	{4}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diedral (D4) [4], *44
Área	${\displaystyle l^{2}}$ [1]
Ângulo interno (graus)	90°
Propriedades	convexo, cíclico, equilátero, isogonal, isotoxal

Exemplo de quadrado

^[2]

Fórmulas métricas

• O perímetro de um quadrado de lado ${\displaystyle l}$ é:

${\displaystyle P=4l.}$

• A área:

${\displaystyle A={l^{2}}.}$

• O ângulo inscrito:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }}$

• O ângulo interno:

${\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =90^{\circ }}$

• O raio da circunferência inscrita ^[3]:

${\displaystyle r_{i}={\frac {1}{2}}l}$

• O raio da circunferência circunscrita ^[4]:

${\displaystyle r_{u}=l\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {d}{2}}}$

• Comprimento da diagonal ^[5]:

${\displaystyle d=\,l\cdot {\sqrt {2}}=2r_{u}}$

• Área interna:

${\displaystyle A=l^{2}={\frac {d^{2}}{2}}}$

Classificações

Diagrama de Euler, com a relação entre os quadrados e os outros paralelogramos.

Um quadrado é um caso particular de um: ^[2]

• quadrilátero plano convexo, pois é um polígono plano convexo de quatro lados;
• paralelogramo, pois os seus lados opostos são paralelos;
• losango, pois os seus lados possuem as mesmas medidas;
• retângulo, pois seus ângulos são todos congruentes;

Propriedades

Quadrado com circunferências inscrita e circunscrita.

• As diagonais de um quadrado são ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ vezes maiores que a medida de seus lados. O comprimento das diagonais corresponde ao diâmetro de uma circunferência circunscrita ao quadrado.
• Os lados de um quadrado correspondem à medida do diâmetro de uma circunferência inscrita ao quadrado.
• O quadrado é o quadrilátero de menor perímetro que têm uma dada área. Reciprocamente, o quadrado é o quadrilátero de maior área para um dado perímetro.
• Como o quadrado também é um losango, suas diagonais são perpendiculares, dividem seus ângulos internos na metade e se interceptam no centro do quadrado.

Traçar com régua e compasso

Construção com régua e compasso de um quadrado inscrito em uma circunferência de diâmetro concordante com as diagonais do mesmo.

Para traçar um quadrado de diagonais d e centralizado no ponto O:^[6]

1. Marcar o ponto O onde será o centro do quadrado.
2. Desenhe uma linha horizontal que passe pelo ponto O.
3. Utilizando como centro o ponto O, trace uma circunferência de diâmetro d, desta forma obteremos dois pontos de intersecção com a reta horizontal do passo 2.
4. Sem alterar a abertura do compasso e utilizando agora como centro alguma das duas interesecções do passo 3, trace um arco até cortar em dois pontos a circunferência inicial.
5. Una os dois pontos traçados no passo 4 com uma linha reta (vertical), esta reta produzirá um novo ponto de interesecção sobre a reta horizontal inicial.
6. Faça o centro com compasso no ponto encontrado no passo 5 e abra o mesmo até o ponto central O e traçe um semicírculo que intercepte em dois pontos na linha vertical do passo 5.
7. Desenhe uma linha reta que passe por um dos pontos do passo 6 e pelo ponto central O, estendendo-a até que ambos os lados interseccionem a circunferência inicial do passo 3, isto produzirá sobre a mesma linha dois pontos que são vértices opostas do quadrado e também os extremos de uma das diagonais.
8. Repetindo o passo anterior, mas agora com o outro ponto do passo 6 e o ponto central O, obterá os dois pontos que são as vétices opostas do quadrado e também os estremos da segunda diagonal.
9. Então, unindo de modo cíclico com linhas retas os quatro pontos de vertice encontrados nos passos anteriores, obterá finalmente o quadrado.

Referências

1. Áreas das figuras planas
2. Dolce, O. (2013). Fundamentos de Matemática Elementar 9 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535716863
3. Mundo Educação - Circunferência Inscrita no Quadrado
4. MEC - Inscrição e Circunscrição
5. alunosonline.com.br - Calculando a Diagonal do Quadrado e do Retângulo
6. EHow - Como fazer um quadrado em desenho geométrico

Ver também

Wikcionário

O Wikcionário tem o verbete quadrado.

• Lista de construções do desenho geométrico