Identidade de Ward-Takahashi

Na teoria quântica de campos, uma identidade de Ward-Takahashi é uma identidade entre funções de correlação que decorre das simetrias globais ou de calibre da teoria e que permanece válida após a renormalização. A identidade de Ward-Takahashi da eletrodinâmica quântica foi originalmente usada por John Clive Ward^[1] e Yasushi Takahashi^[2] para relacionar a renormalização da função de onda do elétron ao seu fator de renormalização de vértices, garantindo o cancelamento da divergência ultravioleta em todas as ordens da teoria das perturbações. Usos posteriores incluem a extensão da prova do teorema de Goldstone a todas as ordens da teoria da perturbação.^[3][4]

Teoria quântica de campos

(Diagramas de Feynman)

Histórica Pano de fundo Teoria de gauge Teoria dos campos Simetria de Poincaré Mecânica quântica Quebra espontânea de simetria Teoria dos twistores Simetrias Simetria C Simetria CP Simetria temporal Ferramentas Anomalia Teoria efetiva dos campos Matriz CKM Valor esperado do vácuo Fantasmas de Faddeev-Popovs Diagramas de Feynman Fórmula da redução de LSZ Propagador Quantização Renormalização Vácuo quântico Teorema de Wick Axiomas de Wightman Equações Equação de Dirac Equação de Klein–Gordon Equação de Proca Equação de Wheeler–DeWitt Modelo padrão Força eletrofraca Mecanismo de Higgs Cromodinâmica quântica Eletrodinâmica quântica Teorias incompletas Gravidade quântica Teoria das cordas Supersimetria Teoria de Yang-Mills Teoria de tudo Cientistas Adler • Hawking • Bethe • Bogoliubov • Callan • Coleman • DeWitt • Dirac • Dyson • Fermi • Feynman • Fierz • Fröhlich • Gell-Mann • Goldstone • Gross • 't Hooft • Higgs • Jackiw • Klein • Landau • Lee • Lehmann • Majorana • Nambu • Parisi • Polyakov • Salam • Schwinger • Skyrme • Stueckelberg •Symanzik • Tomonaga • Veltman • Weinberg • Weisskopf • Wilson • Wilczek • Witten • Yang • Yukawa • Zimmermann • Zinn-Justin • Lopes

Esta caixa: ver discutir editar

De maneira mais geral, uma identidade de Ward-Takahashi é a versão quântica da conservação de corrente clássica associada a uma simetria contínua pelo teorema de Noether.

Identidade de Ward-Takahashi formalizada

A identidade de Ward-Takahashi aplica-se a funções de correlação no espaço de momento, que não têm necessariamente toda a sua Momenta externa na on shell.^[5] Deixe

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

ser uma função de correlação QED envolvendo um fóton externo com momento k (onde ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ é o vetor de polarização do fóton e a soma sobre ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ is implied), n elétrons de estado inicial com momento ${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$, e n elétrons de estado final com momento ${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$. Defina também ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ser a amplitude mais simples obtida pela remoção do fóton com momento k da nossa amplitude original. Então a identidade de Ward-Takahashi diz

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right.}$

${\displaystyle \left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]}$

onde e é a carga do elétron e tem sinal negativo.Observe que se ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ tem seus elétrons externos off-shell, então as amplitudes do lado direito dessa identidade têm uma partícula externa off-shell e, portanto, não contribuem para os elementos da matriz S.

Identidade de Ward

A identidade de Ward é uma especialização da identidade Ward-Takahashi para elementos da matriz S, que descrevem processos de dispersão fisicamente possíveis e, portanto, têm todas as suas partículas externas on-shell. Novamente deixe ${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$ ser a amplitude de algum processo QED envolvendo um fóton externo com impulso ${\displaystyle k}$, onde ${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$ é o vetor de polarização do fóton.^[6] Então a identidade da ala diz:

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

Fisicamente, o que essa identidade significa é a polarização longitudinal do fóton que surge no gauge ξ é anti-físico e desaparece da matriz S. Exemplos de seu uso incluem a restrição da estrutura tensorial da polarização do vácuo e da função de vértice de elétrons no QED.^[7]

Referências

1. Ward, John Clive (1950). «An Identity in Quantum Electrodynamics». Physical Review. 78 (2): 182. Bibcode:1950PhRv...78..182W. doi:10.1103/PhysRev.78.182
2. Takahashi, Yasushi (1957). «On the generalized ward identity». Il Nuovo Cimento. 6 (2): 371–375. Bibcode:1957NCim....6..371T. doi:10.1007/BF02832514
3. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. [S.l.]: Westview Press. Section 7.4 ("The Ward-Takahashi identity"). ISBN 978-0-201-50397-5
4. Danos, Michael (julho de 1997). «Ward - Takahashi identities and Noether's theorem in quantum field theory». Foundations of Physics. 27 (7): 995–1009. ISSN 0015-9018. doi:10.1007/BF02551149
5. Kaplunovsky, Vadim (30 de janeiro de 2019). «Ward–Takahashi Identities» (PDF). University of Texas in Austin
6. «Ward-Takahashi Identities in Quantum Field Theory with Spontaneously Broken Symmetry Progresso da física teórica, volume 51, edição 4, abril de 1974, páginas 1183–1192»
7. «The Master Ward Identity» (PDF). Institut fur Theoretische Physik - Universitat Gottingen

• Portal da física