Categoria (teoria das categorias)

Na matemática, uma categoria é um conceito similar a um grafo direcionado, incluindo setas entre objetos, entre elas havendo identidades e uma operação de composição, com propriedades análogas à composição de funções.^[1]

A teoria das categorias é o estudo de propriedades e classificações de categorias e conceitos relacionados. Ela provê uma linguagem que simplifica conceitos e demonstrações em várias áreas de matemática, possibilitando delinear e separar os resultados gerais dos que se aplicam a uma área específica.^[2]

Categorias foram introduzidas por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane com o objetivo de dar um significado rigoroso ao conceito de "canônico" ou "natural".^[2]

Definição

Uma categoria C consiste nos seguintes elementos:

• Uma coleção^{[nota 1][3]} de objetos, coleção esta denotada por

  ob C ou, simplesmente, C.

• Para cada dupla a, b de objetos, uma coleção de triplas (a, b, f), chamadas setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) a até o contradomínio (ou destino) b, para as quais são usadas as notações

  f : a → b, ${\displaystyle a{\xrightarrow {f}}b}$, (a, b, f) ∈ hom_C(a, b) (ou brevemente f ∈ hom_C(a, b)), f ∈ C(a, b), f ∈ mor_C(a, b) ou dom(f) = a, cod(f) = b.

• Para cada objeto a, uma seta de a até a, chamada identidade, e denotada por id_a ou 1_a.
• Para cada tripla de objetos a, b, c, uma operação de composição, levando

  cada seta f : a → b e cada seta g : b → c a uma seta g ∘ f : a → c.

• Devem ser satisfeitas as igualdades:

  (Lei da identidade) Para todos objetos a, b e todas as setas f : a → b, 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

  (Associatividade) Para todos objetos a, b, c, d e todas as setas f : a → b, g : b → c e h : c → d, (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).

Categorias definidas têm, comumente, nome escrito em negrito, como Cat, ou sem serifas, como ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$. Nota-se que, como definido acima, hom(a, b) ∩ hom(c, d) = ∅ a menos que a = c e b = d.^[4][5][3][6]

Exemplos de categorias

• A categoria dos conjuntos, denotada por Set (inglês set) ou por Ens (francês ensemble), tem como coleção de objetos a coleção de conjuntos pequenos, e, para cada dois objetos A, B seus, as setas (A, B, f) serão precisamente as funções de A a B (etiquetadas com seu domínio e contradomínio), sendo que a identidade e a composição correspondem às funções identidades e à composição de funções, respectivamente.
• A categoria dos grupos, denotada por Grp, tem como coleção de objetos a coleção de grupos (G, ⋅) para os quais G é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem aos homomorfismos de grupos. De maneira similar, há a categoria dos monoides Mon, dos grupos abelianos Ab, dos anéis Anel, dos módulos R-Mod etc.
• A categoria dos espaços topológicos, denotada por Top, tem como objetos os espaços topológicos (X, τ) para os quais X é conjunto pequeno, e as suas setas correspondem às funções contínuas.^[4]
• Para cada monoide (M, ⋅), há uma categoria B M, com um único objeto, e cujas setas correspondem biunivocamente aos elementos de M, com seta identidade sendo o elemento neutro de M, e composição dada pela operação ⋅.
• Para cada pré-ordem (P, ≤), há uma categoria, cujos objetos são elementos de P, e tal que, para objetos a, b, há exatamente um morfismo a → b se a ≤ b, e nenhum se ¬ (a ≤ b). A existência de identidades vem de que a ≤ a, e a existência de composições segue da transitividade.
• Para cada conjunto A, há uma categoria discreta, cujos objetos são precisamente os elementos de A, e na qual os únicos morfismos são as identidades.^[5]
• Para cada grafo (V, E), há a categoria livre, cujos objetos são os vértices em V, e, dados objetos a, b, os morfismos a → b correspondem precisamente aos caminhos formados pelas arestas em E, iniciando em a e terminando em b; as identidades correspondem a caminhos de zero arestas, e as composições correspondem a concatenações de caminhos.^[7]

Categorias pequenas e grandes

Na teoria de conjuntos (mais precisamente axiomas de Zermelo-Fraenkel), não há conjunto incluindo todos os conjuntos. Similarmente, não há categoria incluindo todos os conjuntos (ou grupos, espaços topológicos etc.)^[8] Isso pode ser resolvido, usando universos de Grothendieck. Dado ${\displaystyle U}$ universo, chame um conjunto de (${\displaystyle U}$-)pequeno se ele for membro de ${\displaystyle U}$. Então, ${\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Set}}}$ será a categoria dos conjuntos pequenos. Dado o axioma de universos, temos uma sequência: $${\displaystyle U_{0}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq U_{1}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq U_{2}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq \cdots }$$ em que ${\displaystyle U_{0}\in U_{1}\in U_{2}\in \cdots }$ são universos.

Uma categoria é (${\displaystyle U}$-)pequena quando o conjunto de objetos e todos os conjuntos de setas hom(a, b) são (${\displaystyle U}$-)pequenos. Notar que ${\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Set}}}$ é assim uma categoria ${\displaystyle U}$-grande.

Na prática, o prefixo "${\displaystyle U}$-" é omitido.^[9]

Esta, porém, não é a única forma de resolver esse problemas lógicos. Adámek, Herrlich e Strecker, por exemplo, supõem somente a existência de conjuntos, classes e conglomerados (que correspondem, respectivamente, a elementos de um universo, subcoleções do universo e coleções de subcoleções do universo); nesse contexto, os hom são sempre conjuntos (não podem ser classes quaisquer), e uma categoria pequena é definida como uma categoria cuja coleção de objetos é um conjunto.^[10]

Categoria oposta

Para cada categoria ${\displaystyle C}$, temos a categoria oposta (ou dual) ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$, obtida invertendo a direção das setas de ${\displaystyle C}$. Mais precisamente, ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ tem os mesmos objetos que ${\displaystyle C}$, e cada morfismo ${\displaystyle b\to a}$ em ${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$ é denotado por ${\displaystyle f^{\mathrm {op} }:b\to a}$ para exatamente um morfismo ${\displaystyle f:a\to b}$; identidades são ${\displaystyle (1_{a})^{\mathrm {op} }}$, e composição é definida por $${\displaystyle g^{\mathrm {op} }\circ f^{\mathrm {op} }=(f\circ g)^{\mathrm {op} }}$$ para setas de domínio e contradomínio adequados.

A cada teorema do formato "para toda categoria ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle \phi (C)}$ é verdade", há o costume de expressar o caso particular "${\displaystyle \phi (C^{\mathrm {op} })}$" sem envolver a definição de categoria oposta (por exemplo, trocando "domínio" com "contradomínio", "monomorfismo" com "epimorfismo" etc.). Isso pode deixar mais fácil de encontrar demonstrações de outros resultados.^[11]

Produto de categorias

A categoria ${\displaystyle {\mathsf {Cat}}}$ das categorias pequenas (e functores como morfismos) tem produtos binários. Eis uma construção explícita.^[12] Dadas categorias ${\displaystyle B,C}$, os objetos de ${\displaystyle B\times C}$ são as duplas ${\displaystyle (b,c)}$, com ${\displaystyle b}$ objeto de ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle c}$ objeto de ${\displaystyle C}$, e os morfismos ${\displaystyle (b,c)\to (b',c')}$ são as duplas de morfismos ${\displaystyle f:b\to b'}$ e ${\displaystyle g:c\to c'}$. A identidade de ${\displaystyle (b,c)}$ é ${\displaystyle (1_{b},1_{c})}$, e composições são dadas por: $${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)=(f'\circ f,g'\circ g)}$$

Tipos de morfismos

Um morfismo f : a → b numa categoria C é chamado:

• um monomorfismo quando é cancelável à esquerda, isto é,

  para todo objeto c e morfismos g, h : c → a satisfazendo f ∘ g = f ∘ h, vale g = h.

• um epimorfismo quando é cancelável à direita, isto é,

  para todo objeto c e morfismos g, h : b → c satisfazendo g ∘ f = h ∘ f, vale g = h.

• um bimorfismo quando é um monomorfismo e um epimorfismo.
• uma seção quando é um inverso direito, isto é,

  existe g : b → a tal que g ∘ f = 1_a.

• uma retração quando é um inverso esquerdo, isto é,

  existe g : b → a tal que f ∘ g = 1_b.

• um endomorfismo quando a = b.
• um isomorfismo quando é um inverso, isto é,

  existe g : b → a tal que g ∘ f = 1_a e f ∘ g = 1_b.

• um automorfismo quando é um isomorfismo e um endomorfismo.
• um idempotente quando a = b e f ∘ f = f.
• um idempotente que cinde quando a = b e

  há objeto c e morfismos g : a → c e h : c → a tais que f = h ∘ g e g ∘ h = 1_c.^[13][5][14]

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Notas

1. Emprega-se o termo coleção, em vez de classe ou conjunto, para eximir, em primeiro contato, o leitor de preocupações com a lógica ou a teoria dos conjuntos. Ver, porém, a seção Categorias pequenas e grandes.

Referências

1. (Mac Lane, Introdução)
2. (Riehl, Prefácio)
3. (Aluffi, §I.3.1)
4. (Mac Lane, §I.1, §I.2)
5. (Riehl, §1.1)
6. (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.1)
7. (Mac Lane, §II.7)
8. (Mac Lane, §I.6): "Our foundation […] does not provide sets to represent certain metacategories, such as the metacategory of all sets or that of all groups."
9. (Mac Lane, §I.6)
10. (Adámek, Herrlich, Strecker, §0.2, §3.1, §3.44)
11. (Mac Lane, §I.1, §I.2): "For more complicated theorems, the duality principle is a handy way to have (at once) the dual theorem. No proof of the dual theorem need be given. We usually leave even the formulation of the dual theorem to the reader."
12. (Mac Lane, §II.3, III.4."products")
13. (Mac Lane, §I.5)
14. (Riehl, §1.2)

Bibliografia

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
• ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]