Transformação natural (teoria das categorias)

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, uma transformação natural entre functores paralelos ${\displaystyle F,G:C\rightarrow D}$ é uma coleção de morfismos ${\displaystyle F(X)\rightarrow G(X)}$ satisfazendo certas condições. O conceito pode ser usado para dar um significado rigoroso a expressões como "natural" e "canônico".^[1]

Definição

Se ${\displaystyle F,G}$ são functores entre categorias ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$, uma transformação natural ${\displaystyle \eta :F{\dot {\rightarrow }}G}$ é uma família de morfismos ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$ para cada objeto ${\displaystyle X}$ de ${\displaystyle C}$, chamados componentes, satisfazendo, para cada morfismo ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ em ${\displaystyle C}$ a condição de naturalidade:

$${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}.}$$

Pode-se expressar essa igualdade como o diagrama comutativo:

Quando isso vale, diz-se que ${\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$ é natural em ${\displaystyle X}$; essa expressão deixa implícita a ação dos functores nos morfismos da categoria C.^[2] As notações ${\displaystyle \eta :F\Rightarrow G}$ e ${\displaystyle \eta :F\rightsquigarrow G}$ também são usadas.^[1]

Um isomorfismo natural é uma transformação natural cujas componentes são isomorfismos.^[3]

Categorias de functores

Dadas categorias ${\displaystyle C,D}$, temos a categoria dos functores ${\displaystyle D^{C}}$, cujos objetos são os functores ${\displaystyle C\rightarrow D}$, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.^[4]

Composições vertical e horizontal

A composição de morfismos em ${\displaystyle D^{C}}$ é chamada composição vertical; dadas transformações naturais ${\displaystyle \sigma :F{\dot {\rightarrow }}G}$, ${\displaystyle \tau :G{\dot {\rightarrow }}H}$, temos que ${\displaystyle \tau \cdot \sigma }$ tem componentes

$${\displaystyle (\tau \cdot \sigma )_{X}=\tau _{X}\circ \sigma _{X}}$$

Também há a composição horizontal; dadas transformações naturais ${\displaystyle \tau :S{\dot {\rightarrow }}T}$, ${\displaystyle \tau ':S'{\dot {\rightarrow }}T'}$, temos que ${\displaystyle \tau '\circ \tau :S'S{\dot {\rightarrow }}T'T}$ tem componentes

$${\displaystyle (\tau '\circ \tau )_{X}=T'(\tau _{X})\circ \tau '_{S(X)}=\tau '_{T(X)}\circ S'(\tau _{X})}$$

A segunda igualdade acima é consequência da condição de naturalidade.

Há seguinte relação entre os dois tipos de composição: ${\displaystyle (\tau '\cdot \sigma ')\circ (\tau \cdot \sigma )=(\tau '\circ \tau )\cdot (\sigma '\circ \sigma )}$.^[5]

Exemplos

• Há morfismo natural de cada espaço vetorial (sobre um corpo qualquer) ao espaço dual de seu dual. Mais precisamente, os mapeamentos ap_V : V → V^∗∗, para cada espaço vetorial V, definidos por ap_V(v) = (f ∈ V^∗) ↦ f(v), formam uma transformação natural 1 ⇒ (_)^∗∗; a condição de naturalidade refere-se à igualdade$${\displaystyle \phi ^{\ast \ast }\circ \mathrm {ap} _{V}=\mathrm {ap} _{W}\circ \phi }$$para cada mapeamento linear φ : V → W, onde φ^∗∗(Λ ∈ V^∗∗) = (g ∈ W^∗) ↦ Λ(g ∘ φ).
• A única transformação natural 1 ⇒ F, em que F é o functor na categoria dos espaços vetoriais definido por$${\displaystyle F(V\xrightarrow {\phi } W)=V\otimes V\xrightarrow {v\otimes v'\mapsto \phi (v)\otimes \phi (v')} W\otimes W}$$em que ${\displaystyle \otimes }$ denota o produto tensorial, é aquela cujas componentes são os mapeamentos nulos. Intuitivamente, qualquer definição de mapeamento linear não nulo V → V ⊗ V "depende" de um base para V, logo não pode ser feita naturalmente para todos os espaços vetoriais.^[2]
• Avaliação de funções em elementos de um conjunto fixo S é uma transformação natural. Mais precisamente, denotando-se por X^S o conjunto de funções S → X, as avaliações e_X : X^S × S → X, para cada X conjunto, definidas por e_X(h, s) = h(s), formam uma transformação natural (_)^S × S ⇒ 1.^[6]
• O teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani pode ser expressado como um isomorfismo natural entre functores levando espaços compactos de Hausdorff a espaços de Banach.^[2]

Referências

1. (Aluffi, §VIII.1.5)
2. (Riehl, §1.4)
3. (Mac Lane, §I.4)
4. (Mac Lane, §II.4)
5. (Mac Lane, §II.5)
6. (Mac Lane, §I.4, exercício 1)