Isomorfismo (teoria das categorias)

Um isomorfismo (ou iso), no contexto de teoria das categorias, é uma seta invertível. Mais precisamente, uma seta ${\displaystyle h:a\rightarrow b}$ numa categoria ${\displaystyle C}$ é um isomorfismo se e somente se existe ${\displaystyle g:b\rightarrow a}$ tal que ${\displaystyle g\circ h=id_{a}}$ e ${\displaystyle h\circ g=id_{b}}$. Nesse caso, ${\displaystyle g}$, a inversa de ${\displaystyle f}$, é única, e denotada por ${\displaystyle f^{-1}}$.

Toda seta iso é mono e epi, embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, os morfismos identidade, e um único morfismo ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$, ${\displaystyle f}$ é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

Em conjuntos podemos pensar uma seta iso como sendo uma função bijetora.

Igualdade e isomorfismo

Isomorfismo é uma das noções mais importantes em uma categoria. Por isso, é comum encontrar em várias demonstrações e construções as expressões único, a menos de isomorfismo e único, a menos de único isomorfismo.

O que estas expressões querem dizer é que determinado objeto pode existir como várias versões, mas todas estas versões são isomórficas. Na noção mais forte, este isomorfismo entre dois objetos também é único.

Para efeitos práticos, o isomorfismo faz com que objetos isomórficos comportem-se da mesma forma. Tudo que pode ser feito com um deles pode ser feito com o outro - basta compor setas com o isomorfismo entre estes objetos.

Exemplos

• Na teoria dos corpos, o fecho algébrico existe é único a menos de isomorfismo. Por exemplo, o corpo ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ pode ter como fecho algébrico um determinado conjunto de matrizes 2x2 ou um conjunto de pares ordenados (a,b) no qual é definida uma operação de produto, mas estas duas representações de ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ são isomórficas. O isomorfismo, porém, não é único.
• Na construção de um corpo ordenado arquimediano completo, pode-se usar os cortes de Dedekind ou classes de equivalência de sequências de Cauchy. Estas duas representações de ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ na categoria dos corpos são isomórficas, e o isomorfismo é único - diz-se portanto que o corpo ordenado arquimediano completo nesta categoria é único a menos de um único isomorfismo.

Bibliografia

• ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
• BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação
• Isomorfismo (teoria dos grupos) - caso particular para a categoria dos grupos

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Lâminas para um curso curto de Teoria das Categorias por Carlos Campani

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e