Em matemática, mais especificamente em teoria da ordem, uma pré-ordem é uma relação binária reflexiva e transitiva.
Toda ordem parcial ou relação de equivalência é também uma pré-ordem.
Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:
(propriedade reflexiva)
(propriedade transitiva)
Muitas vezes é usada a notação de par-ordenado. Neste caso, escreveríamos:
é uma pré-ordem.
- Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual x ≤ y se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y.
- Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem.
- Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem.
- Seja
um monóide. Definimos a relação
em
como
.
- Assim,
é uma pré-ordem.
- A relação definida por
, injetora.
- Dada uma relação de pré-ordem
, então,
também é uma pré-ordem.
- Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto
para algum outro onjeto
é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente.
- Considere o conjunto
de todas as funções do conjunto dos números naturais
em
. Definimos a relação
para
como
![{\displaystyle f\leqslant ^{*}g\iff {\big (}\exists N\in {\mathbb {N} }{\big )}{\big (}\forall n\geqslant N{\big )}(f(n)\leqslant g(n){\big )}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19cbfedbe9c49661e0f17cb1e3abc570b2b9ebc)
- (considerando
como a ordem natual de
).
- Então
é uma pré-ordem.
- Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, Topologia de Alexandrov e, de fato, toda pré-ordem admite uma bijeção com uma topologia de Alexandrov neste conjunto.
- Pré-ordens podem ser usadas para definir álgebras interiores.
- Pré-ordens induzem a semântica de Kripke para certos tipos de lógicas modais.
- Schröder, Bernd S. W. (2002), Ordered Sets: An Introduction, ISBN 0-8176-4128-9, Boston: Birkhäuser