Conjunto parcialmente ordenado

Na matemática, especialmente na Teoria da ordem, um conjunto parcialmente ordenado (ou conjunto PO) é uma estrutura matemática que permite a análise da relação de precedência de elementos em um conjunto. Diferentemente de uma relação de ordem total, nem todos os elementos precisam ser comparáveis.

O diagrama de Hasse do conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto de três elementos ${\displaystyle \{x,y,z\},}$ ordenados por inclusão . Conjuntos conectados por um caminho ascendente, como ${\displaystyle \emptyset }$ e ${\displaystyle \{x,y\}}$, são comparáveis, enquanto, por exemplo, ${\displaystyle \{x\}}$ e ${\displaystyle \{y\}}$ não são.

Formalmente, um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto estruturado com uma relação binária reflexiva, antissimétrica e transitiva nos elementos que podem ser comparados.

Essa estrutura é comumente representada pelo par ${\displaystyle (P,\leq )}$, onde ${\displaystyle P}$ é um conjunto e ${\displaystyle \leq }$ é a relação de ordem definida sobre este. Denotamos por ${\displaystyle a\leq b}$ quando um elemento precede outro.

Definição

Um conjunto parcialmente ordenado, é um par ${\displaystyle (P,\leq )}$ onde ${\displaystyle P}$ é um conjunto e ${\displaystyle \leq }$ é uma relação binária que satisfaz as seguintes propriedades:

Reflexividade: ${\displaystyle a\leq a}$. Todo elemento precede ele mesmo.

Antissimetria: ${\displaystyle a\leq b\land b\leq a\implies a=b}$. Se dois elementos precedem um ao outro, então eles são iguais.

Transitividade:${\displaystyle a\leq b\land b\leq c\implies a\leq c}$.

Essas propriedades definem uma relação de precedência parcial entre os elementos de ${\displaystyle P}$.^[1]

Exemplos

• Os números reais com a ordenação usual (essa relação também é total).
• Os subconjuntos do conjunto das partes ordenado pela inclusão.
• Os números naturais ordenados por divisibilidade.

Ver também

• Relação de ordem
• Reticulado (matemática)
• Diagrama de Hasse