Relação transitiva

 Nota: Para outros significados de transitividade, veja Transitividade.

Na matemática, relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto de tal forma que se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro.^[1]

Se tomarmos ${\displaystyle A}$ um conjunto, e ${\displaystyle R}$ uma endorrelação de ${\displaystyle A}$, (ou seja, ${\displaystyle R\subseteq A\times A}$, dizemos que ${\displaystyle R}$ é transitiva se satisfizer a seguinte condição: ${\displaystyle (\forall a\in A)(\forall b\in A)(\forall c\in A)}$, se ${\displaystyle (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\Longrightarrow (a,c)\in R}$

Em termos de teoria dos conjuntos, a relação transitiva pode ser definido como uma relação binária ${\displaystyle R}$ sobre um conjunto ${\displaystyle X}$ é transitiva se, sempre que um elemento de ${\displaystyle a}$ está relacionado a um elemento de ${\displaystyle b}$, e ${\displaystyle b}$ é relacionado a um elemento de ${\displaystyle c}$, então ${\displaystyle a}$ também está relacionado com ${\displaystyle c}$. A transitividade é uma propriedade chave de ambos os conjunto parcialmente ordenado e de relações de equivalência.

Por exemplo, "é maior que", é pelo menos tão grande quanto " e "é igual a" (igualdade) são relações transitivas:

• sempre que ${\displaystyle A>B}$ e ${\displaystyle B>C}$, então a também ${\displaystyle A>C}$
• sempre que ${\displaystyle A\geq B}$ e ${\displaystyle B\geq C}$, então a também ${\displaystyle A\geq C}$
• sempre que ${\displaystyle A=B}$ e ${\displaystyle B=C}$, então a também ${\displaystyle A=C}$.

Por outro lado, "é a mãe de" não é uma relação transitiva, porque se Alice é a mãe de Brenda, Brenda é a mãe de Claire, em seguida, Alice não é a mãe de Claire. Na verdade é não transitivo: Alice pode nunca ser a mãe de Claire. Então, novamente, em biologia, muitas vezes precisamos considerar a maternidade através de um número arbitrário de gerações: a relação "é um matrilinearidade ancestral". Esta é uma relação transitiva. Mais precisamente, é o fechamento transitivo da relação "é a mãe".

Mais exemplos de relações transitivas são "é um subconjunto de" (conjunto de inclusão); "divide" (divisibilidade); "implica" (implicação).

Propriedades

Fechamento de propriedades

O inverso de uma relação transitiva é sempre transitivo: por exemplo, sabendo que "é um subconjunto de" é transitiva e "é um superconjunto de" é o inverso, pode-se concluir que o último é transitiva.

A intersecção de duas relações transitivas é sempre transitivo: sabendo que "nasceu antes" e "tem o mesmo primeiro nome como" são transitórias, podemos concluir que "nasceu antes e também tem o mesmo primeiro nome que" é também transitória.

A união de duas relações transitivas não é sempre transitória. Por exemplo, "nasceu antes ou tem o mesmo primeiro nome como" geralmente não é uma relação transitiva.

O complemento de uma relação transitiva não é sempre transitória. Por exemplo, enquanto "igual a" é transitiva, "não é igual a" é apenas transitória em conjuntos com mais de um elemento.

Outras propriedades

Uma relação transitiva é assimétrica , se e somente se ela é relação reflexiva.

Propriedades que necessitam de transitividade

• Pré-ordem — relação reflexiva e relação transitiva
• Ordem parcial — uma relação antissimétrica pré-ordem
• Total pré-ordem — uma relação total de pré-ordem
• Equivalência — uma relação simétrica pré-ordem
• Ordem fraca — uma ordem restrita parcialmente incompatível é uma relação de equivalência
• Total ordenação — uma relação total, relação antissimétrica, relação transitiva

Contagem

Nenhuma fórmula geral que conta o número de relações transitivas em um conjunto finito (sequência A006905 na OEIS) é conhecido.^[2] No entanto, não existe uma fórmula para achar o número de relações que são, simultaneamente, reflexiva, simétrica e transitiva – em outras palavras, relações de equivalência – (sequência A000110 na OEIS), aqueles que são simétricas e transitivas, aqueles que são simétricas, transitivas, e anti simétrica, e aqueles que são total, transitória, e anti simétrica. Pfeiffer^[3] tem feito alguns progressos neste sentido, expressando relações com combinações dessas propriedades em termos de cada um dos outros, mas ainda calcular é bastante difícil. Consulte também.^[4]

Referências

1. Relações. Universidade Federal do Rio Grande do Sul.
2. Steven R. Finch, "Relações transitivas, topologias e ordens parcias" Arquivado em 4 de março de 2016, no Wayback Machine., 2003.
3. Götz Pfeiffer, "Contagem de Relações Transitivas", Journal of Integer Sequências, Vol. 7 (2004), o Artigo 04.3.2.
4. Gunnar Brinkmann e Brendan D. McKay,"Contagem sem marcações da topologia e relações transitivas"