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Constante matemática; limite de (1 + 1/n)^n quando n se aproxima de infinito; número transcendente aproximadamente igual a 2,718281828 Da Wikipédia, a enciclopédia livre
O número e é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais. É o limite de (1 + 1/n)n quando n se aproxima de infinito, uma expressão que provem da computação dos juros compostos. É o valor da função exponencial (natural), usualmente denotada ex, quando avaliada em x = 1. Também pode ser calculado como soma de uma série infinita como Há diversas outras caracterizações (veja § Definições e § Representações).
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O número e também é chamado de número de Euler (não confundir com a constante de Euler ) — nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler — ou constante de Neper — em homenagem a John Napier.[1][2] A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.[3][4]
O número e é de grande importância na matemática,[5] junto de 0, 1, π, e i. Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler e têm papéis importantes e recorrentes na matemática.[6][7] Semelhante à constante π, e é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais).[2] Com 50 casas após a vírgula, o valor de e é:[8]
O número e é o limite uma expressão que provém da computação dos juros compostos.[9]
Este número também pode ser calculado como soma de uma série infinita:[10]
Ele também é o único número positivo a tal que o gráfico da função y = ax tem um declive de 1 quando x = 0.[11]
A função exponencial (natural) exp(x) é a única função que é igual a sua própria derivada e que satisfaz a equação exp(0) = 1. Visto que a função exponencial é usualmente denotada como x ↦ ex, tem-se que[12]
O logaritmo de base b pode ser definido como a função inversa de x ↦ bx. Pelo fato de b = b1 implicar em logbb = 1, e é a base do logaritmo natural, pois e = e1.[13]
O número e também pode ser caracterizado utilizando uma integral:[14]
Para outras caracterizações, veja § Representações.
A primeira referência à constante foi publicada em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de logaritmos na base e. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria é o logaritmo de base 10 de e, mas ele não reconheceu o próprio e como uma quantidade de interesse.[4][15]
A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos.[9][16] Em sua solução, a constante e ocorre como o limite de em que n representa o número de intervalos em um ano em que o juros compostos é calculado (por exemplo, n = 12 para juros compostos mensalmente).
O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra b por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.[17]
Os primeiros registros de uso da letra e para a constante por Leonhard Euler são de 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões,[18] e em uma carta para Christian Goldbach em 25 de novembro de 1731.[19][20] A primeira aparição de e em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736).[21] É desconhecido o motivo por que Euler escolheu a letra e.[22] Apesar de que alguns pesquisadores usaram a letra c nos anos subsequentes, a letra e era mais comum e eventualmente tornou-se o padrão.[23]
Euler provou que e é a soma da série infinita em que n! é o fatorial de n.[4] A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.[10]
Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:[4]
Uma conta começa com $ 1,00 e paga 100% de juros ao ano. Se os juros forem creditados uma vez, no final do ano, o valor da conta no final do ano será de $ 2,00. O que acontece se os juros forem calculados e creditados com mais frequência durante o ano?
Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses serão de 50%; então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1,52 = $ 2,25 no fim do ano. Se forem considerados rendimentos trimestrais, renderão $ 1,00 × 1,254 = $ 2,44140625 e, mensalmente, $ 1,00 × (1 + 1/12)12 = $ 2,613035... Se há n intervalos compostos, os juros de cada intervalo serão 100%/n e o valor no fim do ano será $ 1,00 × (1 + 1/n)n.[24][25]
Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite à medida que n aumenta e, assim, intervalos de rendimento diminuem.[4] Com rendimento semanal (n = 52), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário (n = 365) atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que n cresce é o número que ficou conhecido como e. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atinge $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de R, após t anos, resultará em eRt dólares com capitalização contínua. Aqui, R é a equivalência decimal da taxa de juros expressa em porcentagem, de modo que, para 5% de juros, R = 5/100 = 0,05.[24][25]
O Número e também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue em uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de um em n e jogue n vezes. À medida que n aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as n apostas aproxima-se de 1/e. Para n = 20, isso já é aproximadamente 1/2,789509...
Este é um exemplo de processo de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em n de ganhar. Considerando o caso de n jogadas, pode-se modelar a situação pela distribuição binomial, que é proximamente relacionada ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar k vezes das n tentativas é de:[26]
Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez (k = 0) é[26]
O limite da expressão acima, quando n tende a infinito, é precisamente 1/e.[27]
O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número e é uma escolha comum e conveniente:[25]
Aqui, x0 denota o valor inicial da quantidade x, k é o constante de variação, e τ é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de e.
A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão,[28] dada pela função densidade de probabilidade[29]
A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no 12 do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva resulta no fator . Esta função possui o eixo de simetria em x = 0, onde ela atinge o seu valor máximo , e tem os pontos de inflexão em x = ±1.[29]
Outra aplicação de e, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos:[30] n convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em n caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por pn, é dada por[30]:
Quando n tende a infinito, pn se aproxima de 1/e. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados nas caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é o inteiro mais próximo de n!/e, para todo n positivo.[31]
O valor máximo de ocorre em x = e. Equivalentemente, para qualquer valor da base b > 1, o valor máximo de x-1logb x ocorre em x = e (O problema de cálculo de Steiner [en], discutido abaixo).
Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento L que foi quebrado em n partes iguais. O valor de n que maximiza o produto de seus comprimentos é[32]
A quantidade x-1logb x também é uma medida de informação extraída de um evento que ocorre com probabilidade 1/x (aproximadamente 36,8% quando x = e, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária.[27]
O número e ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo análise assintótica. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para a análise assintótica da função fatorial, no qual ambos os números e e π aparecem:[33]
Consequentemente,[33]
A principal motivação para a introdução do número e, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmicas.[34] A função exponencial geral y = ax tem uma derivada, dada pelo limite:[35]
O limite entre parênteses é independente da variável x. Seu valor é o logaritmo de a na base e. Portanto, quando o valor de a é igual a e, o limite é igual a 1, e assim chega-se à simples identidade:[11][36]
Assim, diferentemente de qualquer outra base, os cálculos envolvendo derivada são simplificados quando a base da função exponencial é e.[11]
Ao se considerar a derivada da função logarítmica de base a (ou seja, loga x),[34] para x > 0
em que foi feita a substituição u = h/x. O logaritmo de base a de e é 1, se a for igual a e.[37] Então, simbolicamente,
O logaritmo com esta base especial é chamado de logaritmo natural, sendo denotado, geralmente, por ln.
A série de Taylor para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em x = 0:[38]
Definindo x = 1 recupera a definição de e como a soma de séries infinitas.
A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a x de 1/t, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número e é o valor da função exponencial avaliada em x = 1, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que e é o único número real positivo que[39]
Porque ex é a única função (salvo pelas multiplicações por uma constante K) que é igual a sua própria derivada: e, portanto, também por sua própria antiderivada:[40]
Equivalentemente, a família de funções em que K é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a equação diferencial[11]
O número e é o único número real tal que para todo x positivo.[41]
Da primeira das desigualdades acima resulta que para todo x real, com a igualdade se, e somente se, x = 0. Tal desigualdade pode ser vista como um caso limite da desigualdade de Bernoulli. Além disso, e é a única base da exponencial ax tal que a desigualdade ax ≥ x + 1 se mantém verdadeira para todo x.[42]
O problema de cálculo de Steiner [en] questiona o máximo global da função
Este máximo ocorre precisamente em x = e.[43] (Pode ser verificado que a derivada de ln f(x) é zero somente neste valor de x.)
Similarmente, x = 1/e é onde ocorre o mínimo global da função[43]
A tetração infinita
converge se e somente se x ∈ [(1/e)e, e1/e] ≈ [0.06599, 1.4447] ,[44][45] o que foi mostrado por Leonhard Euler.[46][47][43]
O número real e é irracional. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina.[48] (Ver também a Prova de Fourirer de que e é irracional.)
Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, e é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Ele foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.[49]
É conjecturado que e seja normal, o que significa que quando e é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).[50]
Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante π é um período, mas é conjurado que e não seja.[51]
A função exponencial ex pode ser escrita como uma série de Taylor
Já que esta série é convergente para todo valor complexo de x, é comumente utilizada para estender a definição de ex para os números complexos.[52] Isto, junto com a série de Taylor para sen e cos x, permite que seja derivado a fórmula de Euler: que vale para todo complexo x.[52] O caso especial com x = π é a identidade de Euler: que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que π é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo.[53][54] Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo,[52]
Ademais, usando as propriedades da potenciação, para qualquer inteiro n, que é a fórmula de De Moivre.[55]
As expressões cos x e sen x em termos da função exponencial pode ser deduzido como a série de Taylor:[52]
A expressão cos x + sen x às vezes é abreviado como cis x.[55]
O número e pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua
que escrito é
O seguinte produtório é avaliado como e[32]
Diversas outras representações de e como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.
Em adição às expressões analíticas exatas para representar e, há técnicas estocásticas para estimar e. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias X1, X2..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja V o menor número n tal que a soma das primeiras n observações exceda 1:
Então o valor esperado de V é e: E(V) = e.[58][59]
O número de dígitos conhecidos de e aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.[60][61]
Data | Dígitos decimais | Computação realizada por |
---|---|---|
1690 | 1 | Jacob Bernoulli[16] |
1714 | 13 | Roger Cotes[62] |
1748 | 23 | Leonhard Euler[63] |
1853 | 137 | William Shanks[64] |
1871 | 205 | William Shanks[65] |
1884 | 346 | J. Marcus Boorman[66] |
1949 | 2,010 | John von Neumann (no ENIAC)[67] |
1961 | 100,265 | Daniel Shanks e John Wrench[68] |
1978 | 116,000 | Steve Wozniak no Apple II[69] |
Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de e numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, um cálculo recorde foi feito, tendo sido calculado 31 415 926 535 897 (aproximadamente π ×10) dígitos de 13e.[70]
Uma maneira de computar os dígitos de e é com a série[71]
Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas p(a, b) e q(a, b). As funções são definidas como[71]
A expressão produz a n-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza divisão binária [en] para computar e com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.[71]
Durante o surgimento da cibercultura, ocasionalmente indivíduos e organizações prestam homenagem ao número e.
Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de e. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.[72]
Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar 2 718 281 828 USD, que é o arredondamento de e bilhões de dolares.[73]
O Google também foi responsável por um outdoor[74] que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com" (lit. primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e). O primeiro número primo de 10 dígitos em e é 7427466391, que começa no 99.º dígito.[75] Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de e, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127.º dígito.[76] Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.[77]
look for example letter nr. 6
Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (português: Escrito para o número cujo logaritmo tem a unidade, e, que é 2,7182817…")
We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program
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