Fórmula de Euler

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:^[1]

${\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(x\right)}$,

Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

em que:

x é o argumento real (em radianos);

${\displaystyle e}$ é a base do logaritmo natural;

${\displaystyle {\text{i}}^{2}=-1}$ , onde ${\displaystyle {\text{i}}}$ é a unidade imaginária (número complexo);

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)}$ e ${\displaystyle \cos(x)}$ são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

${\displaystyle \ln(\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x)={\text{i}}x}$

em que ln é o logaritmo natural.^[2]

História

Com a introdução dos logaritmos pelo matemático e físico escocês John Napier em 1614, um grande estudo a respeito das suas propriedades surgiram, principalmente sobre logaritmos aplicados em pontos negativos. Essa pesquisa foi alavancada no século XVIII pelo matemático suíço Leonhard Euler e seu mentor Johann Bernoulli. Bernoulli acreditava que ${\displaystyle \log(-x)=\log(x)}$ e, apesar do receio de Euler frente à essa relação, em uma das suas cartas, Euler constatou que: se ${\displaystyle \log(xx)=z\therefore {\frac {1}{2}}z=\log({\sqrt {xx}})}$ ${\displaystyle \Longrightarrow {\frac {1}{2}}z=\log(\pm x)}$.^[3]

No entanto, em 1746, em uma troca de cartas à Jean d’Alembert, Euler se mostra contrário à afirmação que ${\displaystyle \log(-x)=\log(x)}$ e apresenta uma nova proposta a ser futuramente publicada e que daria origem à equação de Euler.

${\displaystyle \log(\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}})^{k}=(k\theta \pm 2mk\pi \pm n\pi ){\sqrt {-1}}}$, em que ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$. ^[3]

Com essa equação, utilizando os valores de 1 para k e 0 para m e n, encontra-se a equação descrita por Roger Cotes em 1714,

${\displaystyle \log(\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}})=\theta {\sqrt {-1}}}$

e, portanto,

${\displaystyle e^{\theta {\sqrt {-1}}}=\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}}}$

No entanto, essas relações somente seriam oficialmente descritas por Euler em um artigo publicado em 1748 utilizando expansões de série exponenciais e expressões trigonométricas.

Prova utilizando cálculo

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos

A função exponencial ${\displaystyle e^{i\pi }}$ pode ser definida como o limite de uma sequência ${\displaystyle \left(1+{\frac {i\pi }{n}}\right)^{n}}$, quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, ${\displaystyle \left(1+{\frac {i\pi }{n}}\right)^{n}}$ se aproxima de -1.

Ver artigo principal: tabela de derivadas

Ver artigo principal: número complexo

Ver artigo principal: cosseno

Ver artigo principal: seno

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{x}=e^{x}}$, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade^[4]:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}e^{z}=e^{z}}$, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{{\text{i}}x}={\text{i}}\,e^{{\text{i}}x}\ .}$

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

${\displaystyle f(x)=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\ .}$

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}f(x)&=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{{\text{i}}x}+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)({\text{i}}e^{{\text{i}}x})+(-\operatorname {sen} x-{\text{i}}\cos x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=({\text{i}}\cos x+\operatorname {sen} x-\operatorname {sen} x-{\text{i}}\cos x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=0\ .\end{aligned}}}$

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

${\displaystyle 1=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\ .}$

Multiplicando os dois lados por cos x + i senx, obtemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x&=(\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x)(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos ^{2}x-({\text{i}}\operatorname {sen} x)^{2})\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos ^{2}x+\operatorname {sen} ^{2}x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=e^{{\text{i}}x}\ .\end{aligned}}}$

Prova utilizando série de Taylor

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica ${\displaystyle f(x)}$ centrada em ${\displaystyle a}$ é representada como:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=o}^{\infty }{C_{n}}{(x-a)^{n}}}$

com ${\displaystyle |x-a|<R}$ , onde

${\displaystyle C_{n}={\frac {{f^{n}}(a)}{n!}}}$

Usando esse conceito de expansão e tomando ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ em torno de ${\displaystyle a=0}$, teremos:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{{f^{n}}(0)}{x^{n}}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{...}+{\frac {x^{n}}{n!}}}$

para todo ${\displaystyle x}$ com intervalo de convergência de ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$.

Em ${\displaystyle x=1}$, na equação acima, obtém-se a expressão para o número ${\displaystyle e}$, como uma soma de uma série infinita:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{...}}$

Se admitirmos a validade de substituirmos ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle ix}$ na equação obteremos:

${\displaystyle e^{{\text{i}}x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\text{i}}\,x)^{n}}{n!}}={\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}\cdot {x^{2n}}}{(2n)!}}}+{\text{i}}\,{\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n-1}}\cdot {x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}}}$

A primeira parte da soma da equação anterior (${\displaystyle e^{ix}}$) é a expansão do ${\displaystyle cos(x)}$ e a segunda é a expansão do ${\displaystyle sen(x)}$ em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

${\displaystyle e^{{\text{i}}x}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(x\right)}$

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

${\displaystyle e^{{\text{i}}ux}=\cos \left(ux\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(ux\right)}$.

Prova usando integrais e trigonometria

Todas as provas exigem uma definição para a função exponencial sobre números complexos. Nesta seção, admite-se que seja válida a seguinte generalização das integrais de números reais:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x-k}}=\ln(x-k)+c,\forall k\in \mathbb {C} }$

Onde "c" é uma constante complexa. Essa integral define implicitamente o logaritmo de números complexos, logo, também define a função exponencial (ao menos, a propriedade da subtração de expoentes).

Sabe-se que a seguinte expressão é válida para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle {\frac {1}{x-{\text{i}}}}-{\frac {1}{x+{\text{i}}}}={\frac {2{\text{i}}}{x^{2}+1}}}$

Ao integrar a expressão acima em ambos os lados, obtém-se:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x-{\text{i}}}{x+{\text{i}}}}\right)=2{\text{i}}\arctan(x)+c}$

Para alguma constante ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$. Fazendo a substituição: ${\displaystyle x=\tan \left({\frac {y}{2}}\right)}$, obtém-se:

${\displaystyle \ln \left({\frac {\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}{\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})+{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}}\right)={\text{i}}y+c}$

Ou seja:

${\displaystyle e^{{\text{i}}y}\cdot e^{c}={\frac {\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}{\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})+{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}}={\frac {\left[\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})\right]^{2}}{\operatorname {sen} ^{2}({\frac {y}{2}})+\cos ^{2}({\frac {y}{2}})}}=\left[\operatorname {sen} \left({\frac {y}{2}}\right)-{\text{i}}\cos \left({\frac {y}{2}}\right)\right]^{2}=\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {y}{2}}\right)-\cos ^{2}\left({\frac {y}{2}}\right)-2{\text{i}}\operatorname {sen} \left({\frac {y}{2}}\right)\cos \left({\frac {y}{2}}\right)=-\cos(y)-{\text{i}}\operatorname {sen}(y)}$

Agora apliquemos ${\displaystyle y=0}$:

${\displaystyle e^{0}\cdot e^{c}=-1\iff e^{c}=-1\therefore e^{{\text{i}}y}=\cos(y)+{\text{i}}\operatorname {sen}(y),\forall y\in \mathbb {R} }$

Exemplo

Se tomarmos como ${\displaystyle x=\pi =3,1415....}$, então teremos um importante produto:^[1]

${\displaystyle e^{{\text{i}}\pi }=-1}$

${\displaystyle e^{{\text{i}}\pi }+1=0}$

Ver também

• Fórmula de De Moivre

Referências

1. SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Seção A3.4, páginas 871 e 872.
2. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
3. Klyve, Dominic (2018). «The Logarithm of -1». Digital commons Ursinus University. Consultado em 3 de dezembro de 2019
4. Daniels, Doug. «Complex Differentiation». Consultado em 15 de maio de 2011

Ligações externas

• «Prova da relação de Euler»