Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma 
, bem como 
. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.
Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma
, em que o primeiro termo, 
, é um número inteiro e os demais números 
são números inteiros positivos.
Frações continuadas simples são expressões da forma 
, em que todos os números 
são iguais a 1. Uma expressão da forma 
é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por ![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a832dee607cca9f4a52b4ebf110f93c30945dd14)
e ![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71653aa3956cbe5900ac604c537ea47bb3c0c663)
. Observe que o termo é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.
Exemplos:
![{\displaystyle {\frac {10}{7}}=1+{\frac {3}{7}}=1+{\frac {1}{\frac {7}{3}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3}}}}=[1;2,3]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dd1365a23bb6fa5d6628e99c786935b905ded3)
![{\displaystyle -{\frac {18}{5}}=-4+{\frac {2}{5}}=-4+{\frac {1}{\frac {5}{2}}}=-4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}=[-4;2,2]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b807b3d08677cfdeb7c926ad45de29e33717ded5)
Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.
Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.
Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número 
na forma de fração continuada.
Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se 
. Logo,
.
A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma
. Com isso, obtém-se a expressão 
.
A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, 
.
Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado:
.[1]
Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma 
, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].
É interessante observar que a representação decimal do número é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.
É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.
Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.
Frações Continuadas Simples Infinitas
É conveniente denotar repetições periódicas da forma ![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,\ldots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f274ebd92281b0747070484ed6d8d5b985480d2)
por ![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},{\overline {r,s}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eca35b821b2774b51314e1644f6ea311eac4a9f)
.
Exemplo. Vamos verificar que ![{\displaystyle [2;2,2,2,\ldots ]=[2;{\overline {2}}\,]={\sqrt {2}}+1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9988b177be37c6c17704ab0bd26dc90420f297a)
. De fato, como
, podemos escrever, 
Também são verdadeiras as igualdades
.
Pode-se concluir que
A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:
O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.
É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever:
Como 
é um número positivo, concluímos que 
.
Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.
Se ![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb9abe60ea5dfa90bfd7d58c43e1d62b9cdd6cb)
, chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números
racionais 
dados por:
,
ou seja,
![{\displaystyle c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],\cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff8e3b4ae1f88fecdc983f360cce155c92fd680)
A existência do limite da sequência das frações parciais 
deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.
Alguns exemplos:
- O número de ouro, dado por
pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: ![{\displaystyle [1;{\overline {1}}\,]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d60d2990379e1a80dc14ebc557618bf4af72d5)
.
Os convergentes do número de ouro são ![{\displaystyle [1]=1,[1;1]=1+{\frac {1}{1}}=2,[1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}={\frac {3}{2}},[1;1,1,1]={\frac {5}{3}},[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5}},[1;1,1,1,1,1]={\frac {13}{8}},\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec571f40802406fb276190c5cb0acfb48dbd45a0)
É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro 
formam a sequência de Fibonacci
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]=[1;{\overline {1,2}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8bae1e826d3c027a01065bbcc1a56b019c324b)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=[2;{\overline {1,1,1,4}}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fad28c3d788031c8fb63c6d708e695a77b3416e)
Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.
- Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que
, que foi uma descoberta muito importante para a história do número 
.
- Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que
explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como
frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.
É interessante saber que o número 
, definido por 
cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como
![{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aefa81a99014274447a78c22357124578c5564f)
- Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número é irracional, usando frações continuadas para calcular
da forma
Lambert usou essa expressão para concluir que se é um número
racional não nulo, então não pode ser um número racional. Sendo assim, como 
, então não pode ser racional.
- Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.
Alguns exemplos de frações contínuas:
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59768eaff5d8c8b3e358d52c5ac4e421094ed423)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365b8b148dd2eacf4d53cdfa66b065d2849170bc)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4,4,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa0d3ad287a8cd74a71cbba94cac51c940c30c)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cb0449eff2858bbe0d1f4c5cd56708878e3fe9)
![{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89afb0f3e49403dd9fbf558da28439376b1298f)
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff42ae2e82c9b21c35a17db5159fe448ca18c4d)
![{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84df1963c853a7ba164f7a76a82696100baaf7bf)
- COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
- DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
- OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a832dee607cca9f4a52b4ebf110f93c30945dd14)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71653aa3956cbe5900ac604c537ea47bb3c0c663)
![{\displaystyle {\frac {10}{7}}=1+{\frac {3}{7}}=1+{\frac {1}{\frac {7}{3}}}=1+{\frac {1}{2+{\frac {1}{3}}}}=[1;2,3]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dd1365a23bb6fa5d6628e99c786935b905ded3)
![{\displaystyle -{\frac {18}{5}}=-4+{\frac {2}{5}}=-4+{\frac {1}{\frac {5}{2}}}=-4+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2}}}}=[-4;2,2]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b807b3d08677cfdeb7c926ad45de29e33717ded5)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},r,s,r,s,\ldots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f274ebd92281b0747070484ed6d8d5b985480d2)
![{\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},{\overline {r,s}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eca35b821b2774b51314e1644f6ea311eac4a9f)
![{\displaystyle [2;2,2,2,\ldots ]=[2;{\overline {2}}\,]={\sqrt {2}}+1}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9988b177be37c6c17704ab0bd26dc90420f297a)
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb9abe60ea5dfa90bfd7d58c43e1d62b9cdd6cb)
![{\displaystyle c_{0}=[a_{0}],c_{1}=[a_{0};a_{1}],c_{2}=[a_{0};a_{1},a_{2}],\cdots ,c_{n}=[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\cdots }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff8e3b4ae1f88fecdc983f360cce155c92fd680)
![{\displaystyle [1;{\overline {1}}\,]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d60d2990379e1a80dc14ebc557618bf4af72d5)
![{\displaystyle [1]=1,[1;1]=1+{\frac {1}{1}}=2,[1;1,1]=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}={\frac {3}{2}},[1;1,1,1]={\frac {5}{3}},[1;1,1,1,1]={\frac {8}{5}},[1;1,1,1,1,1]={\frac {13}{8}},\cdots }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec571f40802406fb276190c5cb0acfb48dbd45a0)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]=[1;{\overline {1,2}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8bae1e826d3c027a01065bbcc1a56b019c324b)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=[2;{\overline {1,1,1,4}}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fad28c3d788031c8fb63c6d708e695a77b3416e)
![{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aefa81a99014274447a78c22357124578c5564f)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59768eaff5d8c8b3e358d52c5ac4e421094ed423)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365b8b148dd2eacf4d53cdfa66b065d2849170bc)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4,4,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa0d3ad287a8cd74a71cbba94cac51c940c30c)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cb0449eff2858bbe0d1f4c5cd56708878e3fe9)
![{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f89afb0f3e49403dd9fbf558da28439376b1298f)
![{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff42ae2e82c9b21c35a17db5159fe448ca18c4d)
![{\displaystyle \phi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84df1963c853a7ba164f7a76a82696100baaf7bf)
