Remove ads
Trygonometria (łac. trigonometria[a]) – dział matematyki z pogranicza geometrii płaskiej i analizy, badający:
- związki miarowe między bokami i kątami trójkątów[1];
- funkcje trygonometryczne, początkowo definiowane przez trójkąty, a później też w inny sposób; badania te bywają nazywane goniometrią[2], przy czym termin ten ma też inne znaczenia.
Trygonometria bada zarówno trójkąty na płaszczyźnie, jak i te sferyczne, przez co wyróżnia się trygonometrię płaską i sferyczną[1][3].
Nauka ta istnieje od starożytności. Rozwijali ją uczeni starogreccy, islamscy oraz średniowiecznej i nowożytnej Europy, m.in. na potrzeby astronomii[1]. Stała się standardowym elementem kursów matematyki w szkołach średnich; przykładowo należy do podstawy programowej polskich liceów i techników, także w zakresie podstawowym[4].
Remove ads
Ogólny zarys
Trygonometria powstała najpóźniej w starożytnej Grecji w okresie hellenistycznym na potrzeby geodezji, astronomii i ich zastosowań do nawigacji, np. żeglugi. Stosunki boków w trójkątach badali także matematycy indyjscy oraz kontynuujący ich prace uczeni chińscy i islamscy, którzy zaprowadzili te wyniki do Europy. Tam nazwano tę dyscyplinę[potrzebny przypis], podano wykresy funkcji trygonometrycznych, zdefiniowano je dla dowolnych argumentów rzeczywistych oraz opracowano szeregi pozwalające obliczać wartości tych funkcji bez fizycznego pomiaru trójkątów. W XVIII wieku udało się też sprowadzić funkcje trygonometryczne do nieskończonych iloczynów, ułamków łańcuchowych oraz powiązać je z funkcją wykładniczą za pomocą wzoru Eulera. Rozwój trygonometrii został w ten sposób ukoronowany, jednak później znajdowano dla niej coraz nowsze zastosowania; przykładowo w XIX wieku powstała analiza harmoniczna.
Rola trygonometrii nie ogranicza się do praktycznego przewidywania odległości i miar kątów:
- tożsamości trygonometryczne znalazły zastosowania w algebrze, np. jako uzupełnienie wzorów Cardana na pierwiastki równania kubicznego;
- z trygonometrii skorzystała też teoria liczb; w XVIII wieku Johann Heinrich Lambert za pomocą jednego ze wzorów na funkcję tangens udowodnił, że liczba pi (π) jest niewymierna. W XIX i XX wieku podano nowe wzory na tę stałą zawierające funkcje cyklometryczne; obliczanie jej coraz szybciej i z rosnącą precyzją ma pewne znaczenie teoretyczne, np. pozwala sprawdzać pewne hipotezy na jej temat[potrzebny przypis].
Egipt i Babilon
W starożytnym Egipcie i Babilonie od wieków znano twierdzenia dotyczące stosunków boków trójkątów podobnych. Jednak społeczeństwa przed Grekami prawdopodobnie nie wynalazły idei miary kąta i w konsekwencji badały tylko boki trójkąta[5].
Niektórzy badacze uważają, że starożytni Babilończycy zapisali pismem klinowym na tabliczce Plimpton 322, powstałej ok. 1800–1900 lat p.n.e., tablicę sekansów[6]. Jednakże według innych interpretacji mogły to być tablice trójek pitagorejskich[7][8] albo rozwiązanie równania kwadratowego[9][10].
Starożytna Grecja
Matematycy starożytnej Grecji znali pojęcie cięciwy. Dla danego okręgu i jego części (łuku) cięciwa jest prostą, która przecina okrąg na końcach łuku. Symetralna odcinka cięciwy mieszczącego się wewnątrz koła przechodzi przez jego środek i dzieli łuk (i tym samym kąt) na pół. Połowa długości cięciwy to dla okręgu jednostkowego sinus połowy kąta, czyli Wiele z twierdzeń trygonometrycznych było znanych starożytnym Grekom, jednak w postaci odpowiedników operujących długościami łuków i cięciw, a nie miarami kątów i stosunkami długości boków trójkąta[11].
Jakkolwiek w dziełach Euklidesa i Archimedesa nie było trygonometrii w ścisłym tego słowa znaczeniu, są jednak twierdzenia zaprezentowane w geometrycznej formie, które stanowią odpowiedniki pewnych trygonometrycznych praw i wzorów[5]. Na przykład propozycje XII i XIII z Księgi II Elementów są tożsame ze wzorem cosinusów odpowiednio dla kątów rozwartych i ostrych. Twierdzenia dotyczące długości cięciw są natomiast zastosowaniem wzoru sinusów. Jedno z twierdzeń Archimedesa jest zaś odpowiednikiem wzoru na sinus sumy i różnicy kątów[5]. Matematycy za czasów Arystarcha z Samos dla celów obliczeniowych używali m.in. twierdzenia mówiącego, iż (we współczesnej notacji) dla [12].
Pierwsze tablice trygonometryczne zostały prawdopodobnie skompilowane przez Hipparcha (180–125 p.n.e.)[13]. Hipparch jako pierwszy ułożył tablice odpowiadających sobie długości cięciwy i łuku dla różnych kątów[13][14].
Jakkolwiek nie wiadomo dokładnie, kiedy zaczęto używać podziału kąta pełnego na 360 stopni, przypuszczalnie nastąpiło to wkrótce po napisaniu przez Arystarcha z Samos dzieła O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca ok. 260 p.n.e., gdyż mierzył on kąty w ułamkach kąta prostego[12]. Prawdopodobnie podział kąta pełnego na 360 stopni spopularyzował się głównie dzięki Hipparchowi i jego tablicy cięciw. Hipparch mógł podchwycić ideę takiego podziału u Hipsikla, który wcześniej dzielił dobę na 360 części, zapewne wzorując się na babilońskich astronomach[13]. W starożytnej astronomii ekliptyka została podzielona na 12 „znaków zodiaku” lub 36 dekanów. Roczny cykl około 360 dni można było otrzymać, dzieląc każdy znak na 30 części i każdy dekan na 10 części[15]. To dzięki używanemu w Babilonii sześćdziesiątkowemu systemowi liczbowemu każdy stopień został podzielony na 60 minut kątowych, a każda minuta na 60 sekund kątowych[15].
Menelaos z Aleksandrii (ok. 100 n.e.) napisał trzy księgi pod tytułem Sphaerica. W Księdze I sformułował dla trójkątów sferycznych odpowiedniki twierdzeń dotyczących trójkątów na płaszczyźnie[11]. Sformułował również twierdzenie nieposiadające odpowiednika na płaszczyźnie euklidesowej, mówiące, że dwa trójkąty sferyczne są przystające, jeśli odpowiednie ich kąty mają równe miary (utożsamiał przy tym symetryczne wersje trójkątów sferycznych)[11]. Menelaos zauważył także, że suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego jest zawsze większa od 180°[11]. Księga II Sphaerica dotyczyła zastosowań geometrii sferycznej do astronomii. Księga III zawierała „twierdzenie Menelausa”[11].
Później Klaudiusz Ptolemeusz (ok. 90 – ok. 168 n.e.) rozbudował w swoim dziele Almagest koncepcję „cięciw na okręgu” Hipparcha. Trzynasta księga Almagestu była znaczącą starożytną pracą w dziedzinie trygonometrii[16]. Jedno z jej twierdzeń jest dziś znane jako twierdzenie Ptolemeusza. Szczególny przypadek twierdzenia Ptolemeusza pojawia się także w Propozycji XCIII dzieła Euklidesa. Twierdzenie Ptolemeusza prowadzi do równoważnika wzorów na sinus i cosinus sumy i różnicy, choć oczywiście wyrażonych w języku cięciw, a nie funkcji. Ptolemeusz wyprowadził później ekwiwalent wzoru
Ptolemeusz używał tych wyników do stworzenia tablic trygonometrycznych, choć nie wiadomo, czy nie były one wyprowadzone z dzieła Hipparcha[16].
Ani tablice Hipparcha, ani Ptolemeusza nie przetrwały do czasów współczesnych, choć dzięki wzmiankom u innych autorów nie ma wątpliwości, że istniały[17].
Średniowieczne Indie
Kolejny istotny postęp w trygonometrii został dokonany w Indiach. Indyjski matematyk i astronom Aryabhata (476–550 n.e.) w swoim dziele Aryabhata-Siddhanta po raz pierwszy zdefiniował sinus w znanej dzisiaj formie związku między połową kąta i połową cięciwy, a także cosinus, sinus versus i arcus sinus. Jego dzieła zawierają najwcześniejsze tablice trygonometryczne, które przetrwały do dzisiaj, z wartościami funkcji sinus i sinus versus co 3.75° stopnia od 0° do 90°, z dokładnością do czterech miejsc znaczących. Jego nazwy na sinus i cosinus stały się podstawą nazw używanych dzisiaj (zobacz Definicja na okręgu jednostkowym i etymologia nazw funkcji trygonometrycznych).
Inni hinduscy matematycy rozwinęli później pracę Aryabhaty. W VI wieku n.e. Varahamihira używał wzorów:
W VII wieku Bhaskara I stworzył wzór pozwalający na przybliżone obliczanie sinusa dla kąta ostrego bez tablic (z błędem mniejszym od 1,9%):
W końcu VII wieku, Brahmagupta wyprowadził wzór:
oraz tzw. wzór interpolacyjny Brahmagupty:
który pozwolił mu na stablicowanie wartości sinusa[18].
Świat islamu
Prace matematyków hinduskich zostały później przetłumaczone i rozszerzone w świecie muzułmańskim przez arabskich i perskich matematyków. W IX wieku Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi obliczył dokładne tablice sinusa i cosinusa i pierwsze w historii tablice tangensa.
W X wieku islamscy matematycy używali wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych z secansem i cosecansem włącznie, co wiadomo dzięki pracy autorstwa Abu al-Wafa. Abu al-Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych, a także dokładne tablice tangensa. Zauważył również tożsamość:
Wszystkie te wczesne wyniki trygonometryczne powstawały głównie w związku z pracami astronomicznymi, pierwsze traktaty wyłącznie o trygonometrii opublikowali zapewne Bhāskara Acārya i Nasir ad-Din Tusi w XIII wieku. Nasir ad-Din Tusi sformułował i udowodnił twierdzenie sinusów, sklasyfikował też sześć różnych przypadków prostokątnych trójkątów sferycznych.
W XIV wieku Ghijas ad-Din Kaszi stworzył tablice sinusa z dokładnością do czterech cyfr sześćdziesiątkowych (odpowiednik 8 miejsc dziesiętnych) dla każdego stopnia z dodatkowymi poprawkami do obliczania wartości dla każdej minuty kątowej. Uług Beg (XV wiek) także podał dokładne tablice sinusa i tangensa sięgające 8 miejsc dziesiętnych.
Średniowieczne Chiny
Tablice sinusów Aryabhaty zostały przetłumaczone na chiński i umieszczone w klasycznym dziele Kaiyuan Zhan Jing, skompilowanym w 718 roku w okresie dynastii Tang[19]. Jakkolwiek Chińczycy celowali w innych dziedzinach matematyki, takich jak stereometria, czy algebra, to wczesne formy trygonometrii nie rozpowszechniły się tak szybko jak w przypadku Greków, Hindusów i muzułmanów[20]. Powoli ten stan zaczął się zmieniać w okresie dynastii Song (960–1279), kiedy chińscy matematycy zaczęli kłaść większy nacisk na potrzeby geometrii sferycznej[19]. Na przykład Shen Kuo (1031–1095) używał funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania problemów matematycznych z cięciwami i łukami[19]. Jak twierdzą historycy L. Gauchet i Joseph Needham, inny matematyk, Guo Shoujing (1231–1316) używał trygonometrii sferycznej w kalkulacjach kalendarzowych i astronomicznych[21][19].
Renesansowa Europa
Regiomontanus był prawdopodobnie pierwszym europejskim matematykiem, który traktował trygonometrię jako oddzielną dyscyplinę matematyczną. Napisał w 1464 De triangulis omnimodus, a później Tabulae directionum.
Funkcję secans w Europie wprowadził Mikołaj Kopernik w dziele De revolutionibus orbium coelestium (1543)[22], choć arabscy matematycy używali jej prawdopodobnie już w IX wieku[23].
Francesco Maurolico w 1555 używał zapisu sinus[24], w 1583 J. Finck użył określeń tangens[25] oraz sekans[23]. Edmund Gunter w 1620 roku użył słowa cotangens[26], w 1624 roku wprowadził oznaczenie sin x[24] oraz tan x[25], a w 1636 cosi x oraz słowo cosinus (zamiast complementi sinus)[27]. François Viète w 1590 znalazł wzór na [27].
W 1595 Bartłomiej Pitiscus użył po raz pierwszy terminu „trygonometria” w swoim dziele Trigonometria: sive de solutione triangulorum Tractatus brevis et perspicuus (1595, Heidelberg).
Opus palatinum de triangulis autorstwa Retyka, było prawdopodobnie pierwszą definicją funkcji trygonometrycznych w terminach trójkątów prostokątnych zamiast okręgów jednostkowych; ta praca została dokończona przez Valentina Otho, studenta Rheticusa w roku 1596.
Isaac Newton w 1665 znalazł rozwinięcie funkcji sinus[24] i cosinus[27] w szereg, a Leonhard Euler w 1734 rozwinięcie funkcji sinus w iloczyn nieskończony[24].
W XVII wieku Isaac Newton i James Stirling stworzyli wzór interpolacyjny Newtona-Stirlinga dla funkcji trygonometrycznych.
W 1770 Johann Heinrich Lambert znalazł reprezentację tangensa w postaci ułamka łańcuchowego[25].
Historia analizy trygonometrycznej
Madhava (około roku 1400) stworzył podwaliny analizy matematycznej funkcji trygonometrycznych, odkrywając rozwinięcie funkcji w szeregi nieskończone. Badał on koncepcje szeregów potęgowych oraz pewnego szeregu, nazwanego później w Europie szeregiem Taylora i obliczył rozwinięcia sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Używając aproksymacji sinusa i cosinusa szeregiem Taylora, stworzył tablice sinusa z 12 miejscami znaczącymi i cosinusa z 9 miejscami znaczącymi. Podał także rozwinięcie π w szereg potęgowy. Jego prace były rozwijane przez jego następców ze szkoły astronomicznej w Kerala aż do XVI wieku[29][30].
Introductio in analysin infinitorum Leonharda Eulera z 1748 roku stworzyło grunt dla analitycznego traktowania funkcji trygonometrycznych w Europie, definiując je jako nieskończone szeregi i wprowadzając „wzór Eulera”. Euler używał skrótów zbliżonych do dzisiejszych: sin., cos., tang., cot., sec., i cosec.
James Gregory, a następnie Brook Taylor badali szeregi, znane dziś jako szeregi Taylora. Ten ostatni znalazł rozwinięcia i aproksymacje wszystkich sześciu funkcji trygonometrycznych. Duże znaczenie na tym polu miały również prace Colina Maclaurina.
Remove ads
- równanie trygonometryczne
- trygonometryczne wzory redukcyjne
- twierdzenie cosinusów, twierdzenie tangensów – twierdzenia przydatne przy rozwiązywaniu zadań dotyczących trójkątów
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
Remove ads