Loading AI tools
identyczność kształtów Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przystawanie (kongruencja) – relacja równoważności figur zdefiniowana poprzez izometrię rozumianą intuicyjnie jako identyczność kształtu i wielkości figury: dwie figury uważa się za przystające (kongruentne), jeśli istnieje izometria między nimi.
Każda izometria jest złożeniem skończonej liczby symetrii, obrotów i przesunięć; w szczególności rozkładowi na symetrie podlegają same obroty i przesunięcia. W związku z tym dane dwie figury są przystające, gdy istnieje ciąg symetrii przekształcający jedną z nich na drugą[1].
Pojęcie przystawania ma zasadnicze znaczenie w geometrii euklidesowej – jest ona odpowiednikiem równości liczb w arytmetyce. W geometrii analitycznej przystawanie można intuicyjnie zdefiniować w następujący sposób: dwa przekształcenia figur do wspólnego układu współrzędnych kartezjańskich są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch punktów w pierwszym odwzorowaniu ich odległość euklidesowa jest równa odległości euklidesowej między odpowiadającym im punktom w drugim przekształceniu.
Zgodnie z powyższymi definicjami dowolne dwa punkty są przystające; dwa odcinki uważa się za przystające, jeśli są równej długości; dwa kąty uznaje się za przystające, jeśli mają równą miarę. Dwa okręgi (i dwa koła) są przystające, jeśli mają równe promienie. Ponieważ w trójkątach można wyróżnić boki jak i kąty, to istnieje dla nich kilka równoważnych cech przystawania:
Z powodu wygody najczęściej korzysta się z pierwszych trzech cech przystawania trójkątów.
Powyższe cechy dotyczą zarówno geometrii euklidesowej (parabolicznej) jak również eliptycznej i hiperbolicznej. Ostatnia z możliwych kombinacji
zachodzi jedynie w geometriach eliptycznej i hiperbolicznej; w geometrii euklidesowej jest to warunek podobieństwa trójkątów (pojęcie nieobecne w pozostałych dwóch geometriach).
Przystawanie wielokątów można sprowadzić do przystawania trójkątów po triangulacji. Wśród cech przystawania n-kątów można wymienić
Cechy przystawania samych boków (BBB…BB), czy samych kątów (KKK…KK) nie istnieją w żadnej z wyżej wymienionych geometrii.
Przystawanie można zdefiniować jako pojęcie pierwotne. Istnieją aksjomatyzacje geometrii euklidesowych, np. aksjomatyka Hilberta, aksjomatyka Tarskiego, w których tak się ją definiuje; obok niej wprowadza się także relację leżenia między (zob. aksjomatyzacje geometrii euklidesowej, rezygnacja lub zaprzeczenie niektórych aksjomatów prowadzi do innych geometrii, np. geometrii eliptycznej, czy hiperbolicznej). Wówczas izometria jest pojęciem wtórnym zdefiniowanym za pomocą przystawania.
Samo przystawanie można wprowadzić również za pomocą innych pojęć pierwotnych. Przykładowo można zdefiniować symetrię osiową bez odwoływania się do pojęcia przystawania (przystawanie dwóch odcinków jest równoważne istnieniu izometrii między nimi; dokładniej: złożeniu dwóch symetrii osiowych).
Jeśli dana przestrzeń gdzie jest dowolnym zbiorem, wyposażona jest w relację przystawania oraz relację leżenia między (bądź relację rozdzielania), to można wprowadzić w niej funkcję nazywaną miarą, która przypisuje każdemu odcinkowi (parze punktów) przestrzeni pewną liczbę rzeczywistą, spełniającą dla dowolnych punktów warunki:
Dowodzi się, że z dokładnością do stałej istnieje tylko jedna miara na zbiorze oraz że spełnia ona nierówność trójkąta:
W tym ujęciu każda izometria zachowuje miary odcinków. Podobnie wprowadza się miarę kątów (par półprostych o wspólnym wierzchołku), z tego powodu przystawanie zachowuje również i ją. W ogólności zachowane są także: kąty między krzywymi, krzywizny i skręcenia krzywych, długości krzywych, pola powierzchni oraz inne podobne wielkości. Pole trójkątów w geometrii euklidesowej jest funkcją miar ich boków, w geometriach eliptycznej i hiperbolicznej jest ono funkcją ich kątów (tzw. defekt trójkąta).
Tak zdefiniowana miara jest metryką, co czyni z dowolnego modelu geometrii przestrzeń metryczną. Funkcje zachowujące metrykę nazywane są izometriami. Z punktu widzenia geometrii tego rodzaju metryki nie są zbyt użyteczne, o ile nie uwzględni się drugiego i trzeciego warunku definicji miary wzmocnionych do powyższej postaci. Okazuje się, że dla niektórych metryk może nie istnieć środek odcinka, okrąg może pokrywać całą przestrzeń bez punktu albo może istnieć zbiór punktów, dla których suma odległości (w sensie metryki) od dwóch zadanych punktów jest stała, może się okazać kwadratem zamiast odcinkiem. Dlatego wprowadzając pojęcie przystawania za pomocą metryki (lub izometrii) cicho zakłada się nieco bogatszą niż metryczna strukturę geometryczną przestrzeni.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.