Czworobok zupełny

Czworobok zupełny – figura geometryczna na płaszczyźnie złożona z czterech prostych, z których żadne trzy nie mają wspólnego punktu, ważna dla geometrii rzutowej.

Czworobok zupełny z zaznaczonymi prostymi przekątnymi (linie przerywane), punktami przekątnymi (białe kółka) i pomarańczową linią ${\displaystyle M}$ łączącą środki odcinków prostych przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki czworoboku

Nazewnictwo

Proste, z których składa się czworobok zupełny, nazywamy jego bokami, a sześć punktów ich przecięcia – wierzchołkami. Trzy proste, które nie są bokami, a które przechodzą przez dwa wierzchołki czworoboku nazywamy prostymi przekątnymi, a punkty ich przecięcia to punkty przekątne.

Własności

• Na każdej prostej przekątnej leżą dwa wierzchołki czworoboku i dwa jego punkty przekątne. Para wierzchołków i para punktów przekątnych dzielą się harmonicznie, tj. dwustosunek tych par wynosi −1.
• Środki odcinków przekątnych wyznaczonych przez wierzchołki na nich leżące są współliniowe. Co więcej, Izaak Newton udowodnił, że na tej samej prostej ${\displaystyle M}$ leży ognisko krzywej stożkowej stycznej do wszystkich boków czworoboku.
• Ortocentra czterech trójkątów wyznaczonych przez boki czworoboku zupełnego wszystkie leżą na jednej prostej prostopadłej do ${\displaystyle M}$^[1]. Plücker pokazał, że okręgi, których średnicami są odcinki przekątnych wyznaczone przez wierzchołki czworoboku mają dwa wspólne punkty, które również leżą na tej prostej.
• Okręgi opisane na trójkątach wyznaczonych przez trójki boków czworoboku mają punkt wspólny.

Zobacz też

• czworokąt
• dwustosunek
• geometria rzutowa

Przypisy

1. Patrz pomarańczowa prosta na rysunku.

Bibliografia

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Complete Quadrilateral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
• Stark M., Geometria analityczna, w: „Monografie matematyczne”, t. 26, Warszawa-Wrocław 1951 , rozdział XVII, s. 442–445.