Symetralna odcinka
prosta prostopadła do odcinka dzieląca go na pół Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
prosta prostopadła do odcinka dzieląca go na pół Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Symetralna odcinka – prosta definiowana dla dowolnego odcinka na dwa równoważne sposoby[1]:
Poprawność drugiej definicji wynika z twierdzenia mówiącego, że taki zbiór punktów faktycznie tworzy prostą. Symetralna jest jedną z dwóch osi symetrii odcinka.
Niech dany będzie odcinek Aby skonstruować cyrklem i linijką symetralną tego odcinka, należy[2]:
Wyznaczona prosta jest szukaną symetralną.
Powyższa konstrukcja jest również stosowana do wyznaczenia środka odcinka, ponieważ punkt przecięcia symetralnej z odcinkiem jest właśnie tym środkiem.
Weźmy w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie odcinek o końcach
Wówczas symetralną odcinka jest prosta o równaniu:
Weźmy na płaszczyźnie trzy punkty
Punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, jeśli
Rzeczywiście:
Bo oraz
Podobnie dla równania
Niech dany będzie trójkąt
Jeśli jest punktem przecięcia symetralnych boków i to oraz
Stąd co oznacza, że punkt leży na symetralnej boku
Niech będzie przecięciem symetralnych boków i
Skorzystaliśmy z równania wektorowego symetralnej.
Zgodnie z twierdzeniem cosinusów
więc tzn. co zgodnie z równaniem wektorowym oznacza, że punkt leży na symetralnej boku
Dla wielokątów mamy ogólną własność: przecinanie się symetralnych wszystkich boków wielokąta w jednym punkcie jest równoważne istnieniu okręgu opisanego.
Pojęcie symetralnej oparte jest na pojęciu prostopadłości i przystawania (w klasycznym ujęciu także prostopadłość sprowadza się do przystawania). Ponieważ w geometrii hiperbolicznej i eliptycznej istnieje pojęcie przystawania, można więc także w nich używać symetralnych.
W geometrii hiperbolicznej każdy odcinek ma dokładnie jedną symetralną. Rzecz komplikuje się, gdy rozpatrzyć symetralne boków trójkąta. Mogą zajść trzy przypadki:
Jak widać, są tutaj trójkąty nie wyznaczające żadnego okręgu opisanego.
W geometrii eliptycznej jest jeszcze inaczej. Ponieważ każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwie symetralne (wzajemnie prostopadłe), więc na każdym trójkącie (rozumianym jako trójka niewspółliniowych punktów) można opisać cztery różne okręgi.
Podsumowując, geometria euklidesowa (paraboliczna) wyróżnia się tym, że na każdym trójkącie można opisać tylko jeden okrąg. W niektórych ujęciach aksjomatyki powyższe własność jest równoważna aksjomatowi Euklidesa.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.