Różniczka funkcji

Różniczka – w analizie klasycznej wielkość reprezentująca zasadniczą część zmiany danej funkcji względem zmian zmiennej niezależnej, w analizie niestandardowej nieskonczenie mała zmiana danej zmiennej. Różniczkę funkcji ${\displaystyle y=f(x)}$ definiuje się jako wyrażenie postaci

${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x,}$

Ten artykuł dotyczy nieskończenie małego przyrostu funkcji. Zobacz też: różniczka jako wartość nieskończenie mała.

podobnie jak pochodna ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ reprezentowała iloraz wielkości ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ przez wielkość ${\displaystyle \mathrm {d} x.}$ Pisze się również

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=f'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Dokładne znaczenie tego typu wyrażeń zależy od kontekstu zastosowań i wymaganego poziomu rygoru matematycznego. W analizie klasycznej ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ są po prostu dodatkowymi rzeczywistymi zmiennymi, na których można działać zgodnie z ich naturą. Dziedzina tych zmiennych może zależeć od konkretnego znaczenia geometrycznego, gdy różniczka postrzegana jest jako pewna forma różniczkowa oraz analitycznego, jeżeli różniczka jest postrzegana jako przybliżenie liniowe przyrostu funkcji. W zastosowaniach fizycznych zmienne ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ oraz ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ definiuje się jako („infinitezymalne”).

Historia i wykorzystanie

Różniczka została wprowadzona za pomocą intuicyjnej czy też heurystycznej definicji Gottfrieda Wilhelma Leibniza, który myślał o różniczce ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ jako o nieskończenie małej („infinitezymalnej”) zmianie wartości ${\displaystyle y}$ funkcji odpowiadającej nieskończenie małej zmianie ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ argumentu ${\displaystyle x}$ funkcji. Z tego powodu szybkość zmiany ${\displaystyle y}$ względem ${\displaystyle x}$ w danej chwili, będąca wartością pochodnej funkcji, jest oznaczana za pomocą ułamka

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}.}$

Taki sposób zapisu pochodnych nazywa się notacją Leibniza. Iloraz ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}}$ nie jest oczywiście nieskończenie mały; jest to liczba rzeczywista.

Wykorzystanie infinitezymalnych w tej formie spotkało się z szeroką krytyką, przykładem może być znany pamflet The Analyst autorstwa biskupa Berkeleya. Augustin Louis Cauchy (1823) zdefiniował różniczkę bez odwoływania się do atomizmu infinitezymalnych Leibniza^[1][2]. Odwrócił on mianowicie, naśladując d’Alemberta, logiczny porządek Leibniza i jego następców: to pochodna stała się obiektem podstawowym, określona jako granica ilorazu różnicowego, a różniczki zdefiniował za ich pomocą. Innymi słowy można było zdefiniować różniczkę ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ za pomocą wyrażenia

${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(x)\,\mathrm {d} x,}$

w którym ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ i ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ są po prostu nowymi zmiennymi przyjmującymi skończone wartości rzeczywiste^[3], a nie stałymi infinitezymalnymi, jakimi były dla Leibniza^[4].

Według Boyera (1959, s. 12) podejście Cauchy’ego stanowiło znaczącą poprawę pod względem logicznym nad podejściem infinitezymalnym Leibniza, ponieważ zamiast korzystać z metafizycznego pojęcia infinitezymalnych można było sensownie manipulować wielkościami ${\displaystyle \mathrm {d} y}$ i ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ w dokładnie taki sam sposób jak dowolnymi innymi wielkościami rzeczywistymi. Ogólne podejście Cauchy’ego do różniczek pozostaje standardowym we współczesnej analizie klasycznej^[5], choć ostateczne słowo dotyczące rygoru, w pełni współczesne pojęcie granicy, zostało powiedziane przez Karla Weierstrassa^[6].

W metodach fizycznych, takich jak te stosowane w teorii termodynamiki, nadal przeważa postrzeganie infinitezymalne, gdzie różniczkę jako nieskończenie małą definiuje się precyzyjnie w analizie niestandardowej.

W analizie niestandardowej różniczka to po prostu nieskończenie mała zmiana (liczba hiperrzeczywista).

W obliczu dwudziestowiecznych zdobyczy analizy matematycznej i geometrii różniczkowej stało się jasne, że pojęcie różniczki funkcji można rozszerzyć na wiele sposobów. W analizie rzeczywistej wygodniej jest mieć do czynienia z częścią główną przyrostu funkcji. Prowadzi to do bezpośrednio do pojęcia różniczki funkcji w punkcie jako funkcjonału liniowego przyrostu ${\displaystyle \Delta x,}$ Podejście to umożliwia uogólnienie różniczki (jako przekształcenia liniowego) na wiele innych, bardziej wyszukanych przestrzeni, co ostatecznie prowadzi do pojęć takich jak pochodna Frécheta czy pochodna Gâteaux. Podobnie w geometrii różniczkowej różniczka funkcji w punkcie to funkcja liniowa wektora stycznego („nieskończenie małego przesunięcia”), co wskazuje na nią jako na rodzaj 1-formy: pochodną zewnętrzna funkcji.

Definicja formalna

Różniczka funkcji ${\displaystyle f(x)}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$

Różniczkę we współczesnym rozumieniu rachunku różniczkowego definiuje się następująco^[7]: Różniczką funkcji ${\displaystyle f(x)}$ jednej zmiennej rzeczywistej ${\displaystyle x}$ jest funkcja ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ dwóch niezależnych zmiennych rzeczywistych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle \Delta x}$ dana wzorem

${\displaystyle \mathrm {d} f(x,\Delta x){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

W zapisie pomija się jeden lub oba argumenty, tzn. można się spotkać z napisami ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ lub po prostu ${\displaystyle \mathrm {d} f.}$ Jeśli ${\displaystyle y=f(x),}$ to różniczkę można zapisać także jako ${\displaystyle \mathrm {d} y.}$ Ponieważ ${\displaystyle \mathrm {d} x(x,\Delta x)=\Delta x,}$ to zwyczajowo pisze się ${\displaystyle \mathrm {d} x=\Delta x}$ tak, że spełniona jest równość

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=f'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Tę notację różniczki stosuje się zwykle, gdy szuka się przybliżenia liniowego funkcji przy dostatecznie małej wartości przyrostu ${\displaystyle \Delta x.}$ Dokładniej, jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją różniczkowalną w punkcie ${\displaystyle x,}$ to różnica wartości funkcji

${\displaystyle \Delta y{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x+\Delta x)-f(x)}$

spełnia

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =\mathrm {d} f(x)+\varepsilon ,}$

gdzie błąd ${\displaystyle \varepsilon }$ przybliżenia spełnia ${\displaystyle {\tfrac {\varepsilon }{\Delta x}}\to 0}$ przy ${\displaystyle \Delta x\to 0.}$ Innymi słowy uzyskuje się przybliżoną tożsamość

${\displaystyle \Delta y\approx \mathrm {d} y,}$

w której błąd względem ${\displaystyle \Delta x}$ można uczynić tak małym, jak się tego chce przyjmując, iż ${\displaystyle \Delta x}$ jest dostatecznie małe, tzn.

${\displaystyle {\frac {\Delta y-\mathrm {d} y}{\Delta x}}\to 0}$

przy ${\displaystyle \Delta x\to 0.}$ Z tego powodu różniczkę funkcji nazywa się częścią główną (liniową) przyrostu funkcji: różniczka jest funkcją liniową przyrostu ${\displaystyle \Delta x}$ i choć błąd ${\displaystyle \varepsilon }$ może nie być liniowy, to dąży on szybko do zera, gdy ${\displaystyle \Delta x}$ dąży do zera.

Własności

Wiele własności różniczki wynika wprost z odpowiednich własności pochodnej, pochodnej cząstkowej i pochodnej zupełnej; wśród nich^[8]:

• liniowość: dla stałych ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ oraz funkcji różniczkowalnych ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$

  ${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\,\mathrm {d} f+b\,\mathrm {d} g.}$

• reguła iloczynu: dla dwóch funkcji różniczkowalnych ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$

  ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)=f\,\mathrm {d} g+g\,\mathrm {d} f.}$

Działanie ${\displaystyle \operatorname {d} }$ o powyższych dwóch własnościach znane jest w algebrze jako różniczkowanie. Dodatkowo zachodzą różne postaci reguły łańcuchowej, według rosnącego poziomu ogólności^[9]:

• Jeśli ${\displaystyle y=f(u)}$ jest funkcją różniczkowalną zmiennej ${\displaystyle u,}$ zaś ${\displaystyle u=g(x)}$ jest funkcją różniczkowalna zmiennej ${\displaystyle x,}$ to

  ${\displaystyle \mathrm {d} y=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

• Jeżeli ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ i wszystkie zmienne ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ zależą od innej zmiennej ${\displaystyle t,}$ to z reguły łańcuchowej dla pochodnych cząstkowych jest

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} y&={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,\mathrm {d} x_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {\mathrm {d} x_{n}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

Heurystycznie reguła łańcuchowa dla wielu zmiennych może być rozumiana jako obustronne dzielenie obu stron równania przez nieskończenie małą wielkość ${\displaystyle \mathrm {d} t.}$

• Prawdziwe są ogólniejsze, analogiczne wyrażenia, w których zmienne pośrednie ${\displaystyle x_{i}}$ zależą od więcej niż jednej zmiennej.

Sformułowanie ogólne

Zobacz też: pochodna Frécheta i pochodna Gâteaux.

Można przestawić spójne pojęcie różniczki dla funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ między dwoma przestrzeniami euklidesowymi. Niech ${\displaystyle \mathrm {x} ,\Delta \mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ będą odpowiednio punktem i wektorem euklidesowym. Przyrost funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ to

${\displaystyle \Delta \mathrm {f} =\mathrm {f} (\mathrm {x} +\Delta \mathrm {x} )-\mathrm {f} (\mathrm {x} ).}$

Jeśli istnieje macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ typu ${\displaystyle m\times n}$ taka, że

${\displaystyle \Delta \mathrm {f} =\mathbf {A} \Delta \mathrm {x} +\|\Delta \mathrm {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }},}$

gdzie wektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\to \mathbf {0} }$ przy ${\displaystyle \Delta \mathrm {x} \to \mathbf {0} ,}$ to funkcja ${\displaystyle \mathrm {f} }$ jest z definicji różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle \mathrm {x} .}$ Macierz ${\displaystyle \mathbf {A} }$ nazywa się często macierzą Jacobiego, a przekształcenie liniowe, które przypisuje przyrostowi ${\displaystyle \Delta \mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ punkt ${\displaystyle \mathbf {A} \Delta \mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$ jest, w tej sytuacji, nazywane różniczką ${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {f} (\mathrm {x} )}$ funkcji ${\displaystyle \mathrm {f} }$ w punkcie ${\displaystyle \mathrm {x} .}$ Jest to dokładnie pochodna Frécheta; ta sama konstrukcja może być zastosowana dla dowolnej funkcji między przestrzeniami Banacha (a nawet dowolnymi przestrzeniami unormowanymi).

Innym owocnym punktem widzenia jest zdefiniowanie różniczki bezpośrednio jako rodzaju pochodnej kierunkowej,

${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {f} (\mathrm {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {\mathrm {f} (\mathrm {x} +t\mathbf {h} )-\mathrm {f} (\mathrm {x} )}{t}}={\frac {\operatorname {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {f} (\mathrm {x} +t\mathbf {h} ){\big |}_{t=0},}$

które to podejście pojawiło się podczas definicji różniczek wyższych rzędów (jest to nieomalże definicja podana przez Cauchy’ego). Jeśli ${\displaystyle t}$ reprezentuje czas, zaś ${\displaystyle \mathrm {x} }$ oznacza położenie, to ${\displaystyle \mathbf {h} }$ symbolizuje prędkość, a nie przemieszczenie, za jakie było dotąd uważane. Daje to inną możliwość udoskonalenia pojęcia pochodnej: powinna być to funkcja liniowa prędkości kinematycznej. Zbiór wszystkich prędkości w danym punkcie znany jest jako przestrzeń styczna, a więc ${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {f} }$ daje funkcję liniową w przestrzeń styczną: formę różniczkową. Ta interpretacja różniczki ${\displaystyle \mathrm {f} ,}$ znana jako pochodna zewnętrzna, ma szerokie zastosowania w geometrii różniczkowej, ponieważ pojęcia prędkości i przestrzeni stycznej mają sens w dowolnej rozmaitości różniczkowej. Jeśli dodatkowo wartość ${\displaystyle \mathrm {f} }$ oznacza także położenie (w przestrzeni euklidesowej), to analiza wymiarowa potwierdza, że wartością ${\displaystyle \mathrm {d} \mathrm {f} }$ musi być prędkość. Traktowanie różniczki w ten sposób znane jest jako odwzorowanie styczne (ang. pushforward, pchnięcie; gdyż „pcha” ono prędkości z przestrzeni wyjściowej w prędkości w przestrzeni docelowej).

Inne podejścia

Osobny artykuł: różniczka.

Choć pojęcie przyrostu infinitezymalnego ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ nie jest dobrze określone we współczesnej analizie matematycznej, to istnieje wiele technik definiowania infinitezymalnej różniczki tak, iż różniczka funkcji może być wykorzystywana w sposób, który jest zgodny z notacją Leibniza; wśród nich:

• Określenie różniczki jako rodzaju formy różniczkowej, szczególnie jako pochodnej zewnętrznej funkcji. Przyrosty infinitezymalne utożsamia się wtedy z wektorami przestrzeni stycznej w danym punkcie. Podejście to jest populatne w geometrii różniczkowej i związanych z nią działach, ponieważ łatwo uogólnia się na odwzorowania między rozmaitościami różniczkowymi.
• Różniczki jako elementy nilpotentne pierścieni przemiennych. To podejście jest popularne w geometrii algebraicznej^[10] .
• Różniczki w gładkich modelach teorii mnogości. To podejście znane jest jako syntetyczna geometria różniczkowa (ang. synthetic differential geometry) lub gładka analiza nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis) i jest ono związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee teorii toposów służą ukryciu mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych^[11].
• różniczki jako nieskończenie małe w systemach liczb hiperrzeczywistych, które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby. Podejście to spotykane jest w analizie niestandardowej, w którym pionierem był Abraham Robinson^[12].

Przykłady i zastosowania

Różniczki można stosować z powodzeniem w analizie numerycznej do badania propagacji błędów eksperymentalnych w obliczeniach, a przez to ogólnej stabilności numerycznej problemu (Courant 1937i). Niech zmienna ${\displaystyle x}$ oznacza rezultat eksperymentu, zaś ${\displaystyle y}$ będzie wynikiem obliczenia numerycznego na ${\displaystyle x.}$ Pytanie brzmi: w jakim stopniu błędy pomiaru ${\displaystyle x}$ wpływają na wynik obliczenia ${\displaystyle y?}$ Jeśli wiadomo o ${\displaystyle x,}$ iż różni się o ${\displaystyle \Delta x}$ od jego prawdziwej wartości, to twierdzenie Taylora daje następujące oszacowanie na błąd ${\displaystyle \Delta x}$ w obliczeniu ${\displaystyle y{:}}$

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi ),}$

gdzie ${\displaystyle \xi =x+\theta \Delta x}$ dla pewnego ${\displaystyle 0<\theta <1.}$ Jeśli ${\displaystyle \Delta x}$ jest małe, to wyrażenie drugiego rzędu jest zaniedbywalne i w ten sposób ${\displaystyle \Delta y,}$ do zastosowań praktycznych, jest dobrze przybliżane przez ${\displaystyle \mathrm {d} y=f(x)\Delta x.}$

Różniczki używa się do zapisania równania różniczkowego

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=g(x)}$

w postaci

${\displaystyle \mathrm {d} y=g(x)\,\mathrm {d} x,}$

w szczególności, jeśli pożądane jest rozdzielenie zmiennych.

Zobacz też

• rachunek różniczkowy i całkowy
• forma różniczkowa
• iloraz różnicowy
• równanie różniczkowe
• różniczka zupełna