Algebra różniczkowa

Pierścień różniczkowy, ciało różniczkowe i algebra różniczkowa – odpowiednio: pierścień, ciało i algebra wyposażone w różniczkowanie, czyli funkcję jednoargumentową spełniającą prawo iloczynu Leibniza. Naturalnym przykładem ciała różniczkowego jest ciało funkcji wymiernych nad liczbami zespolonymi jednej zmiennej, ${\displaystyle \mathbb {C} (t),}$ gdzie różniczkowaniem jest różniczka względem ${\displaystyle t.}$

Pierścień różniczkowy

Pierścień różniczkowy to pierścień ${\displaystyle R}$ wyposażony w co najmniej jedno różniczkowanie

${\displaystyle \partial \colon R\to R,}$

z których każde spełnia prawo Leibniza

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})}$

dla dowolnych ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R.}$ Należy pamiętać, że pierścień nie musi być przemienny, a więc w pewnym stopniu standardowa forma wzoru na iloczyn w kontekście przemiennym, ${\displaystyle \operatorname {d} (xy)=x\operatorname {d} y+y\operatorname {d} x,}$ może być fałszywa. Jeżeli ${\displaystyle M\colon R\times R\to R}$ jest mnożeniem w pierścieniu, to prawo iloczynu jest tożsamością

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \times \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \times \partial ),}$

gdzie ${\displaystyle f\times g}$ oznacza funkcję odwzorowującą parę ${\displaystyle (x,y)}$ na parę ${\displaystyle \left(f(x),g(y)\right).}$

Ciało różniczkowe

Ciało różniczkowe to ciało ${\displaystyle K}$ z różniczkowaniem. Teoria ciał różniczkowych, DF (od ang. differential field), jest zasadzona na zwykłych aksjomatach ciała poszerzonych o dwa dodatkowe określające różniczkowanie. Tak jak wyżej, różniczkowanie musi spełniać prawo iloczynu Leibniza dla elementów z ciała, tzn. dla dowolnych dwóch elementów ${\displaystyle u,v}$ z ciała jest

${\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,}$

ponieważ mnożenie w ciele jest przemienne. Różniczkowanie musi być również rozdzielne względem dodawania w ciele:

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v.}$

Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest ciałem różniczkowym, to ciało stałych dane jest jako ${\displaystyle k=\{u\in K\colon \partial (u)=0\}.}$

Algebra różniczkowa

Algebra różniczkowa nad ciałem ${\displaystyle K}$ to ${\displaystyle K}$-algebra ${\displaystyle A,}$ gdzie różniczkowania komutują (są przemienne) z działaniami ciała, tzn. dla każdego ${\displaystyle k\in K}$ oraz ${\displaystyle x\in A}$ zachodzi

${\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.}$

W zapisie bezwskaźnikowym, jeżeli ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ jest homomorfizmem pierścieni określającym mnożenie skalarne w algebrze, to zachodzi

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {id} )=M\circ (\eta \times \partial ).}$

Jak wyżej, różniczkowanie musi zachowywać prawo Leibniza względem mnożenia w algebrze i musi być liniowe względem dodawania, a więc dla każdego ${\displaystyle a,b\in K}$ oraz ${\displaystyle x,y\in A}$ jest

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

oraz

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.}$

Różniczkowanie w algebrze Liego

Różniczkowanie w algebrze Liego ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ jest odwzorowaniem liniowym ${\displaystyle \operatorname {D} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ spełniającym prawo Leibniza:

${\displaystyle \operatorname {D} ([a,b])=[a,\operatorname {D} (b)]+[\operatorname {D} (a),b].}$

Dla dowolnego ${\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},}$ wyrażenie ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)}$ jest różniczkowaniem na ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ które spełnia tożsamość Jacobiego. Każde takie różniczkowanie nazywane jest różniczkowaniem wewnętrznym.

Przykłady

Jeżeli ${\displaystyle A}$ ma jedynkę, to ${\displaystyle \partial (1)=0,}$ ponieważ ${\displaystyle \partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1).}$ Przykładowo w ciele różniczkowym charakterystyki zero liczby wymierne zawsze są podciałem ciała stałych.

Każde czyste ciało może być interpretowane jako ciało różniczkowe stałych.

Ciało ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ ma unikatową strukturę jako ciało różniczkowe, które jest określone przez równość ${\displaystyle \partial (t)=1{:}}$ aksjomaty ciała wraz z aksjomatami różniczkowania sprawiają, że różniczkowanie jest różniczką względem ${\displaystyle t.}$ Na przykład na mocy przemienności mnożenia i prawa Leibniza zachodzi ${\displaystyle \partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u).}$

W ciele różniczkowym ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ nie ma rozwiązania równania różniczkowego

${\displaystyle \partial (u)=u,}$

ale znajduje się ono w większym ciele różniczkowym zawierającym funkcję ${\displaystyle e^{t}.}$ Ciało różniczkowe z rozwiązaniami wszystkich układów równań różniczkowych nazywane jest ciałem różniczkowo domkniętym. Takie ciała istnieją, ale nie mają własności naturalnych obiektów algebraicznych czy geometrycznych. Wszystkie ciała różniczkowe (o ograniczonej kardynalności) zawierają się w większym ciele różniczkowo domkniętym. Ciała różniczkowe są przedmiotem badań w różniczkowej teorii Galois.

Powszechnie występującymi przykładami różniczkowań są pochodna cząstkowa, pochodna Liego, pochodna Pincherlego i komutator względem elementu algebry. Wszystkie te przykłady są ściśle ze sobą powiązane wspólnym pojęciem różniczkowania.

Pierścień operatorów pseudoróżniczkowalnych

Pierścienie różniczkowe i algebry różniczkowe są często badane za pomocą pierścienia operatorów pseudoróżniczkowym na nich określonych.

Niech dany będzie pierścień

${\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}\colon r_{n}\in R\right\}.}$

Mnożenie w tym pierścieniu określone jest wzorem

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){\tbinom {m}{k}}\xi ^{m+n-k},}$

gdzie ${\displaystyle {\tbinom {m}{k}}}$ oznacza symbol Newtona. Warta wspomnienia tożsamość

${\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}$

wynika z innych tożsamości:

${\displaystyle {\tbinom {-1}{n}}=(-1)^{n}}$

oraz

${\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}$

Różniczkowania z gradacją

Jeżeli dana jest algebra z gradacją ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle \operatorname {D} }$ jest jednorodnym przekształceniem liniowym o gradacji ${\displaystyle d=|\operatorname {D} |}$ w ${\displaystyle A,}$ wtedy ${\displaystyle \operatorname {D} }$ jest różniczkowaniem jednorodnym, jeżeli ${\displaystyle \operatorname {D} (ab)=\operatorname {D} (a)b+\varepsilon ^{|a||\operatorname {D} |}a\operatorname {D} (b),}$ ${\displaystyle \varepsilon =\pm 1,}$ działa na elementach jednorodnych ${\displaystyle A.}$

Różniczkowanie z gradacją jest sumą różniczkowań jednorodnych o tym samym ${\displaystyle \varepsilon .}$

Jeżeli współczynnik komutujący ${\displaystyle \varepsilon =1,}$ to definicja ta redukuje się do zwykłego przypadku.

Jeżeli jednakże ${\displaystyle \varepsilon =-1,}$ to jest ${\displaystyle \operatorname {D} (ab)=\operatorname {D} (a)b+(-1)^{|a|}a\operatorname {D} (b)}$ dla parzystych ${\displaystyle |\operatorname {D} |.}$ Nazywa się je wtedy antyróżniczkowaniami.

Przykładami antyróżniczkowań są pochodna zewnętrzna i produkt wewnętrzny (ang. interior product, nie mylić z iloczynem wewnętrznym, ang. inner product) działający na formach różniczkowych.

Różniczkowania z gradacją superalgebr (np. algebry z gradacją ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$) są często nazywane superróżniczkowaniami.

Zobacz też

• algebra różniczkowa z gradacją
• ciało różniczkowo domknięte
• D-moduł – struktura algebraiczna z działającymi na niej kilkoma operatorami różniczkowymi
• pochodna arytmetyczna
• różniczka Kählera
• różniczkowa teoria Galois

Bibliografia

• Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
• I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
• E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
• D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer i A. Pillay, Springer Verlag (1996).
• A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

Linki zewnętrzne

• David Marker’s home page has several online surveys discussing differential fields.