Wzór Leibniza

Wzór Leibniza – wzór pozwalający obliczyć ${\displaystyle n}$-tą pochodną iloczynu funkcji^[1]. Został wprowadzony przez niemieckiego matematyka Gottfrieda Leibniza.

Wzór

Niech ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą funkcjami różniczkowalnymi i mającymi pochodne aż do rzędu ${\displaystyle n}$ włącznie. Wtedy pochodna ${\displaystyle n}$-tego rzędu iloczynu ${\displaystyle f\cdot g}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)},}$

(1)

gdzie ${\displaystyle n \choose k}$ to symbol Newtona (współczynnik dwumianowy), a ${\displaystyle f^{(0)}:=f.}$ Wzór ten możemy też przedstawić, używając notacji wielowskaźnikowej:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leqslant \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}$

Dowód

Wzór

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)}$

udowodnimy, używając indukcji matematycznej (zupełnej) ze względu na ${\displaystyle n.}$

Dla ${\displaystyle n=1}$ otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx^{2}}}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x),}$

${\displaystyle f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x)=f^{(1)}(x)g(x)+f(x)g^{(1)}(x).}$

Teraz udowodnimy ten wzór dla ${\displaystyle n+1,}$ przy założeniu, że jest on spełniony dla ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&={\frac {d}{dx}}{\frac {d^{n}f(x)g(x)}{dx^{n}}}={\frac {d}{dx}}\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)\\&=\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i+1)}(x)g^{(n-i)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right).\end{aligned}}}$

Weźmy teraz dla pierwszego członu ${\displaystyle i'=i+1.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n+1}f(x)g(x)}{dx^{n+1}}}&=\left(\sum _{i'=1}^{n+1}{n \choose i'-1}f^{(i')}(x)g^{(n-i'+1)}(x)\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)\right)\\&=\sum _{i=0}^{n+1}\left({n \choose i-1}+{n \choose i}\right)f^{(i)}(x)g^{(n-i+1)}(x)=\sum _{i=0}^{n+1}{n+1 \choose i}f^{(i)}(x)g^{(n+1-i)}(x).\end{aligned}}}$

Uogólnienie

Istnieje podobny wzór, zachodzący dla ${\displaystyle r}$ funkcji ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$ różniczkowalnych i mających pochodne aż do ${\displaystyle n}$-tego rzędu włącznie. Pochodna ${\displaystyle n}$-tego rzędu iloczynu ${\displaystyle f_{1}\ldots f_{r}=\Pi _{i=1}^{r}f_{i}}$ wyraża się wzorem:

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)=\sum _{n_{1}+\ldots +n_{r}=n}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x),}$

(2)

gdzie

${\displaystyle {n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}:={\frac {n!}{n_{1}!,n_{2}!,\dots ,n_{r}!}}}$

oznacza współczynnik multimianowy. Sumowanie we wzorze (2) odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych (łącznie z 0), których suma daje ${\displaystyle n.}$

Dowód

Dowód przeprowadzimy poprzez indukcję ze względu na ${\displaystyle r.}$ Dla ${\displaystyle r=2}$ wzór (2) staje się zwykłym wzorem Leibniza (1):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\prod _{i=1}^{2}f_{i}(x)&=\sum _{n_{1}+n_{2}=n}{n \choose n_{1},n_{2}}\prod _{i=1}^{2}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{n \choose n_{1},(n-n_{1})}{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x)\\&=\sum _{n_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{n_{1}!\,(n-n_{1})!}}\,{\frac {d^{n_{1}}}{dx^{n_{1}}}}f_{1}(x){\frac {d^{n-n_{1}}}{dx^{n-n_{1}}}}f_{2}(x).\end{aligned}}}$

Zakładamy więc, że wzór (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle r>2.}$ Udowodnimy, że wynika z niego wzór dla ${\displaystyle r+1}$ funkcji ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r},\,f_{r+1}.}$ Na początek zapiszmy

${\displaystyle \prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)=\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right).}$

Skorzystajmy teraz ze zwykłego wzoru Leibniza dla dwóch funkcji, ${\displaystyle f_{r+1}}$ oraz ${\displaystyle \prod _{i=1}^{r}f_{i}{:}}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)}$

(wyrażenie ${\displaystyle n_{r+1}}$ odgrywa rolę wskaźnika ${\displaystyle i}$ i jest dobrane dla zachowania ciągłości oznaczeń w dalszych przekształceniach). Na mocy założenia indukcyjnego, wiemy, czemu równa się ostatni z nawiasów:

${\displaystyle \left({\frac {d^{n-n_{r+1}}}{dx^{n-n_{r+1}}}}\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x).}$

Kolejno wstawiając rozpisane wyrażenie z nawiasu i stosując własności sumy, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\left({n \atop n_{r+1}}\right)\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)\\&=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}\left({n \atop n_{r+1}}\right){n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).\end{aligned}}}$

Korzystając z faktu, że dla liczb ${\displaystyle n,\,n_{1},\,\dots ,n_{r},\,n_{r+1}}$ zachodzi

${\displaystyle {n-n_{r+1} \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r}}{n \choose n_{r+1}}={\frac {(n-n_{r+1})!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r}!}}\,{\frac {n!}{n_{r+1}!\,(n-n_{r+1})!}}={\frac {n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots n_{r+1}!}}={n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r},n_{r+1}},}$

otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}f_{i}(x)\right)=\sum _{n_{r+1}=0}^{n}\;\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\=n-n_{r+1}\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}$

Dla ustalonego ${\displaystyle n_{r+1}}$ ostatnie dwa nawiasy wymnażają się do wspólnej postaci

${\displaystyle \left({\frac {d^{n_{r+1}}}{dx^{n_{r+1}}}}f_{r+1}(x)\right)\left(\prod _{i=1}^{r}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right).}$

Dla ustalonego ${\displaystyle n_{r+1},}$ sumowanie w wewnętrznej sumie odbywa się po wszystkich liczbach ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},}$ których suma daje ${\displaystyle n-n_{r+1}.}$ Ale ponieważ robimy tak dla każdego ${\displaystyle n_{r+1},}$ od 0 do ${\displaystyle n,}$ to w efekcie sumujemy po wszystkich liczbach ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},n_{r+1},}$ których suma daje ${\displaystyle n}$ i wszystkie składniki po prawej stronie można zebrać pod jedną sumę

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}f_{i}(x)\right)=\sum _{\begin{smallmatrix}n_{1}+\ldots +n_{r}\\+n_{r+1}=n\end{smallmatrix}}{n \choose n_{1},n_{2},\dots ,n_{r+1}}\left(\prod _{i=1}^{r+1}{\frac {d^{n_{i}}}{dx^{n_{i}}}}f_{i}(x)\right),}$

co kończy dowód indukcyjny.