Problemy Hilberta

Problemy Hilberta – lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta w 1900 roku, pokazująca stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku^[1][2]. Lista ta była tematem jego wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu, jednak z powodu braku czasu Hilbert zdążył omówić wówczas jedynie 10 z owych problemów^[3][4].

Sam Hilbert prawdopodobnie nie zdawał sobie sprawy z wagi i trudności wielu spośród postawionych przez siebie problemów. Próby ich rozwiązania wpłynęły znacząco na rozwój matematyki w XX wieku.

Do początku XXI w. większość problemów Hilberta została rozwiązana, choć niektóre problemy sformułowane są zbyt ogólnie, by można to było jednoznacznie stwierdzić. W 2025 roku do nierozwiązanych wciąż problemów należy m.in. problem numer 8, który zawiera trzy hipotezy dotyczące liczb pierwszych: (hipotezę Goldbacha, hipotezę Riemanna i hipotezę liczb pierwszych bliźniaczych).

Lista problemów Hilberta

Nr	Krótki opis	Aktualny status	Rok rozwiązania
1	Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych)	Rezultaty Gödla i Cohena dowodzą, że hipoteza ta jest niezależna od powszechnie przyjętej aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości. Nie ma jednak powszechnej zgody, czy jest to rozwiązanie problemu.	1940, 1963
2	Dowód niesprzeczności aksjomatów arytmetyki (tzn. że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)	Drugie twierdzenie Gödla o niezupełności mówi, że niesprzeczności arytmetyki nie można udowodnić za pomocą jej własnych aksjomatów, podobnie będzie z niesprzecznością dowolnej teorii, która zawiera w sobie arytmetykę. Gerhard Gentzen udowodnił za pomocą teorii mnogości, że niesprzeczność arytmetyki wynika z dobrego uporządkowania liczby porządkowej ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$. Nie ma powszechnego konsensusu czy wyniki te rozwiązują problem oryginalnie postawiony przez Hilberta.	1931, 1936
3	Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?	Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład używając niezmienników Dehna.	1900
4	Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktami	Problem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków.	—
5	Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego?	W zależności od interpretacji pojęcia "grupy ciągłej": w słabszej wersji dowodu dostarcza twierdzenie Gleasona-Montgomery'ego-Zippina. W silniejszej wersji problem jest hipotezą Hilberta-Smitha, wciąż nierozwiązaną.	1953?
6	Matematyczna aksjomatyzacja całości fizyki, ze szczególnym uwzględnieniem: a) Podania aksjomatyki rachunku prawdopodobieństwa jako podstaw dla fizyki statystycznej b) Opracowania rygorystycznej teorii tłumaczącej „przejście od poziomu atomów do ruchu ciał ciągłych”	Problem uznano za nie do końca matematyczny i bardzo ogólnikowy. Punkty (a) i (b) zostały później doprecyzowane przez samego Hilberta. Aksjomatyka Kołmogorowa została powszechnie zaakceptowana jako rygorystyczna podstawa dla rachunku prawdopodobieństwa. Podjęto zarówno próby wyjaśnienia przejścia od skali atomów do ruchu ciał ciągłych, jak i aksjomatyzacji mechaniki kwantowej.	—
7	Czy liczba a b, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest algebraiczną liczbą niewymierną, jest liczbą przestępną?	Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela twierdzenie Gelfonda-Schneidera.	1934
8	Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$)	Problem otwarty.	—
	Hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych)	Problem otwarty.	—
	Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych (istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych)	Problem otwarty.	—
9	Znalezienie najbardziej ogólnego prawa wzajemności dla dowolnego ciała liczbowego	Rozwiązany częściowo. W 1927 r. Emil Artin podał dowód dla rozszerzeń abelowych ciała liczb wymiernych (twierdzenie Artina o wzajemności). Przypadek ogólny pozostaje otwarty.	—
10	Czy istnieje algorytm, który rozstrzyga rozwiązywalność każdego wielomianowego równania diofantycznego?	Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe.	1970
11	Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi	Rozwiązany częściowo.	—
12	Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera z rozszerzeń abelowych liczb wymiernych na dowolne algebraiczne ciała liczbowe	Problem otwarty.	—
13	Rozwiązywanie wszystkich równań 7. stopnia przy użyciu funkcji algebraicznej (ewentualnie: funkcji ciągłej) dwóch zmiennych	Nierozwiązany. Możliwość rozwiązania za pomocą funkcji ciągłych udowodnił Władimir Arnold razem z Andriejem Kołmogorowem, jednak przypadek algebraiczny nie został rozwiązany.	—
14	Czy pierścień niezmienników dla grupy algebraicznej działającej na pierścieniu wielomianów zawsze jest skończenie generowany?	Rozwiązany. Masayoshi Nagata podał kontrprzykład.	1959
15	Ścisłe sformułowanie rachunku Schuberta	Rozwiązany częściowo.	—
16	Opis relacji owali pochodzących od rzeczywistych krzywych algebraicznych oraz powstających jako zamknięte cykle dla wielomianowych pól wektorowych na płaszczyźnie	Problem otwarty.	—
17	Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratów	Rozwiązany, udowodniony przez Emila Artina. Dodatkowo, znaleziono górne ograniczenie dla liczby wymaganych składników.	1927
18	Czy w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje skończenie wiele grup przestrzennych?	Rozwiązany, udowodniony przez Ludwiga Bieberbacha.	1910
	Czy istnieje wielościan, za pomocą którego można wypełnić trójwymiarową przestrzeń, aby wypełnienie nie powtarzało się przy przesunięciu?	Rozwiązany, znaleziony przez Karla Reinhadta.	1928
	Jakie jest najgęstsze możliwe upakowanie sfer w przestrzeni?	Rozwiązany, przez Thomasa Halesa w dowodzie wspomaganym komputerowo. Największe gęstości osiągane przez gęste pakowania wynoszą około 74%.	1998
19	Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?	Rozwiązany. Dowód podany przez Ennio de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha.	1957
20	Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?	Częściowo rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w. Wieloletnie wysiłki zwieńczone dowodem dla niektórych przypadków.	—
21	Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych Fuchsa z przypisanymi grupami monodromii	Rozwiązany częściowo. Rozwiązanie istnieje/nie istnieje/problem jest otwarty w zależności od bardziej szczegółowego określenia przypadku.	—
22	Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznych	Rozwiązany częściowo przez twierdzenie o uniformizacji.	—
23	Dalszy rozwój rachunku wariacyjnego	Uznany za zbyt ogólnikowy.	—

Zobacz też

• problem otwarty
• problemy milenijne