Pole wektorowe

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową^[1]. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definicja pola wektorowego

Niech ${\displaystyle (X,\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta ${\displaystyle (H_{x})_{x\in X}}$^[a]. Elementy produktu ${\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x}}$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól ${\displaystyle \mu }$-mierzalnych nazywamy rodzinę ${\displaystyle \Gamma =(h^{\alpha })_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ spełniającą warunki:

1. funkcja ${\displaystyle X\ni x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}\in \mathbb {C} }$ jest ${\displaystyle \mu }$-mierzalna dla ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathrm {A} .}$
2. ${\displaystyle {\mbox{lin}}\{(h^{\alpha }(x))_{\alpha \in \mathrm {A} }\}=H_{x}}$^[b] dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$

Pole wektorowe

${\displaystyle h\in \prod _{x\in X}H_{x}}$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje ${\displaystyle x\mapsto (h^{\alpha }(x)|h^{\beta }(x))_{x}}$ są ${\displaystyle \mu }$-mierzalne.

Pola ${\displaystyle \mu }$-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu ${\displaystyle \prod _{x\in X}H_{x}}$^[c].

Przykłady pól wektorowych

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego,
• pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego,
• pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej,
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.

Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Operacje różniczkowe na polach wektorowych

Dywergencja pola

Dywergencją pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {A} ({\vec {r}})=[A_{x}({\vec {r}}),A_{y}({\vec {r}}),A_{z}({\vec {r}})]}$ określonego w punktach ${\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ nazywa się pole skalarne ${\displaystyle \phi ({\vec {r}})}$ równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}$ wektora ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \phi ({\vec {r}})={\mbox{div}}\,\mathbf {A} ({\vec {r}})={\frac {\partial A_{x}({\vec {r}})}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}({\vec {r}})}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}({\vec {r}})}{\partial z}}.}$

Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.

Rotacja pola

Rotacją pola wektorowego ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$ nazywa się pole wektorowe takie że

${\displaystyle \mathbf {B} (x,y,z)={\mbox{rot}}\mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja ${\displaystyle {\mbox{rot}}\mathbf {A} (x,y,z)}$ jest różne od zera w punkcie ${\displaystyle (x,y,z),}$ to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe ${\displaystyle \mathbf {A} (x,y,z)}$ wiruje.

Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.

Zobacz też

Zobacz multimedia związane z tematem: Pole wektorowe

• dywergencja pola
• gradient pola
• pole skalarne
• pole tensorowe
• rotacja pola
• teoria pola

Uwagi

1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta ${\displaystyle (H_{x},(\cdot |\cdot )_{x}),\;x\in X.}$
2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.