Masa relatywistyczna

Masa relatywistyczna – wielkość fizyczna wprowadzana w niektórych ujęciach szczególnej teorii względności, ściśle zdefiniowana niżej, przez energię całkowitą. Tak rozumiana masa – tak jak energia całkowita – jest wielkością względną, czyli zależną od układu odniesienia^[1]. Innymi słowy nie jest to niezmiennik relatywistyczny – masa relatywistyczna może zmieniać się bez żadnej zmiany w samym obiekcie fizycznym, wyłącznie przez zmianę układu odniesienia^[2][3]. Masa relatywistyczna jest wielkością zachowywaną w przemianach i, w przeciwieństwie do masy spoczynkowej, addytywną, co jednak jest prostą konsekwencją zasady zachowania i addytywności relatywistycznej energii całkowitej^[4].

Jest to więc wielkość odmienna od masy spoczynkowej, wielkości niezmienniczej i tożsamej, z dokładnością do czynnika ${\displaystyle c^{-1},}$ z niezmienniczą wartością bezwzględną (długością) czteropędu, i będącej właściwością obiektu^[5][2][6][7]. Dlatego użycie w nazwie masa relatywistyczna terminu masa może wprowadzać w błąd i być przyczyną nieporozumień^[8][5][2][9].

Ścisłe definicje

Ogólna

Masa relatywistyczna jest tożsama – z dokładnością do czynnika (czyli ze współczynnikiem proporcjonalności) c⁻¹ – z zerową (czasową) składową czterowektora energii-pędu (czteropędu) danego obiektu fizycznego. Innymi słowy jest równa, z dokładnością do czynnika ${\displaystyle c^{-2},}$ całkowitej energii tego relatywistycznego obiektu^[10][8][5]:

${\displaystyle m_{r}={\frac {p_{0}}{c}}={\frac {E_{r}}{c^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle m_{r}}$ – masa relatywistyczna,

${\displaystyle p_{0}}$ – zerowa (czasowa) składowa czteropędu,

${\displaystyle E_{r}}$ – energia relatywistyczna,

${\displaystyle c}$ – prędkość światła w próżni.

Przy niezerowej masie spoczynkowej

Wykres zależności masy relatywistycznej od prędkości (wyrażonej jako część prędkości światła w próżni c).

Dla obiektów o niezerowej masie spoczynkowej (ciał) wprowadza się niekiedy wzór^[11]:

${\displaystyle m_{r}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m_{0},}$

gdzie:

${\displaystyle m_{r}}$ – masa relatywistyczna,

${\displaystyle m_{0}}$ – masa spoczynkowa,

${\displaystyle v}$ – prędkość ciała względem danego układu odniesienia,

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ – czynnik Lorentza.

Wzór ten faktycznie opisuje związek transformacyjny między energią spoczynkową ciała (energią w układzie odniesienia, w którym ciało spoczywa, dla ciał zawsze niezerową), a jego relatywistyczną energią całkowitą (sumą jego energii spoczynkowej i relatywistycznej energii kinetycznej, nietożsamej z klasyczną energią kinetyczną): ${\displaystyle E_{r}=\gamma {E_{0}}=\gamma {m_{0}}{c^{2}},}$ nie wynikający jednak ze zmian zachodzących „w ciele”, a z transformacyjnych właściwości czasoprzestrzeni (szczególnie dylatacji czasu)^[2][12]. Jedynie w układzie, w którym pęd ciała (składowe przestrzenne czteropędu) jest zerowy, relatywistyczna energia całkowita (proporcjonalna do składowej czasowej) jest równa energii spoczynkowej (proporcjonalnej do wartości bezwzględnej czteropędu i do masy spoczynkowej)^[13][14].

Dzięki użyciu pojęcia masy relatywistycznej, w miejsce masy spoczynkowej, możliwe jest pozorne utrzymanie w szczególnej teorii względności klasycznej (newtonowskiej) definicji pędu^[15][16]:

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ – klasyczna definicja pędu,

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {E_{r}{\vec {v}}}{c^{2}}}}$ – relatywistyczna definicja pędu,

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{r}{\vec {v}}}$ – relatywistyczna definicja pędu „upodobniona” do klasycznej (czyli definicja klasyczna przeniesiona do szczególnej teorii względności).

Masa relatywistyczna rośnie wraz z prędkością ciała względem danego układu odniesienia^[17] (aż do nieskończoności przy zbliżaniu się prędkości do prędkości światła w próżni), podczas gdy masa spoczynkowa pozostaje stała.

Przy zerowej masie spoczynkowej

Dla obiektów o zerowej masie spoczynkowej (np. fotonów)^[18][19][20] niekiedy wprowadza się pojęcie masy relatywistycznej, jako wielkości tożsamej (co do czynnika c⁻²) z ich energią^[21], co jednak może wprowadzać w błąd, gdyż nie może być mowy o jakiejkolwiek bezwładności fotonu^[22] mimo jego niezerowego pędu^[23].

Wyprowadzenie wzoru

Doświadczalnie

Rozważmy zderzenie dwóch kul ${\displaystyle B}$ i ${\displaystyle R}$ o tej samej masie ${\displaystyle m_{0}}$ poruszających się wzdłuż osi ${\displaystyle y}$ w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio ${\displaystyle u_{0}}$ i ${\displaystyle -u_{0}}$ w układach odniesienia ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle S'.}$ Po zderzeniu kula ${\displaystyle B}$ zacznie się poruszać w ujemnym kierunku osi ${\displaystyle y}$ z prędkością ${\displaystyle -u_{0},}$ a kula ${\displaystyle R}$ w przeciwieństwie do zasad fizyki klasycznej, oprócz ruchu w dodatnim kierunku osi ${\displaystyle y,}$ także w dodatnim kierunku osi ${\displaystyle x.}$

Suma pędów obu kul przed i po zderzeniu wzdłuż osi ${\displaystyle x}$ jest taka sama i wynosi ${\displaystyle m_{0}u_{0},}$ zatem pęd jest zachowany. Jednak wzdłuż osi ${\displaystyle y{:}}$

${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=-m_{0}u_{0}+{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }},}$

${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k}=m_{0}u_{0}-{\frac {m_{0}u_{0}}{\gamma }}.}$

Gdy ${\displaystyle \left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{p}=\left[p(B)_{y}+p(R)_{y}\right]_{k},}$ to ${\displaystyle \gamma =1}$ co oznacza sprzeczność.

Aby pęd był zachowany także wzdłuż osi ${\displaystyle y,}$ to musimy założyć, że to masa kul się zmienia. Zatem masy są funkcjami prędkości: ${\displaystyle m(B)}$ i ${\displaystyle m(R).}$

Wtedy:

${\displaystyle m(B)u_{0}-{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}=-m(B)u_{0}+{\frac {m(R)u_{0}}{\gamma }}.}$

Z tego wynika, że^[24]:

${\displaystyle m(B)={\frac {m(R)}{\gamma }}.}$

Analitycznie

Zasada zachowania pędu dla zderzenia dwóch ciał o masach ${\displaystyle m_{1}}$ i ${\displaystyle m_{2}}$ poruszających się przed zderzeniem z prędkościami odpowiednio ${\displaystyle u_{1}}$ i ${\displaystyle u_{2}}$ w układzie odniesienia ${\displaystyle S}$ oraz odpowiednio ${\displaystyle +u'}$ i ${\displaystyle -u'}$ w układzie odniesienia ${\displaystyle S',}$ a po zderzeniu z tą samą prędkością ${\displaystyle v}$ sformułowana jest następująco:

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=(m_{1}+m_{2})v.}$

Uwzględniając relatywistyczne składanie prędkości:

${\displaystyle u_{1}={\frac {u'+v}{1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}},}$ ${\displaystyle u_{2}={\frac {-u'+v}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}.}$

Możemy obliczyć stosunek mas obydwu ciał:

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {1+{\frac {u'v}{c^{2}}}}{1-{\frac {u'v}{c^{2}}}}}={\frac {\sqrt {1-{\frac {u_{2}^{2}}{c^{2}}}}}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Po podstawieniu: ${\displaystyle m_{2}=m_{0},}$ ${\displaystyle u_{2}=0,}$ ${\displaystyle u_{1}=v}$ otrzymujemy^[25]:

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Wzór na masę relatywistyczną można również wyprowadzić na gruncie mechaniki klasycznej, rozważając dwa układy ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle S'}$ poruszające się względem siebie w przestrzeni trójwymiarowej z prędkością ${\displaystyle v_{x}}$^[26] bądź cząstkę o masie ${\displaystyle m}$ i ładunku ${\displaystyle q}$ poruszającą się z prędkością ${\displaystyle v}$ w układzie ${\displaystyle S}$ (układ ${\displaystyle S'}$ porusza się względem układu ${\displaystyle S}$ wzdłuż osi ${\displaystyle x}$ z prędkością ${\displaystyle u}$), która poddana jest działaniu pola elektrycznego ${\displaystyle E}$ i indukcji magnetycznej ${\displaystyle B}$^[27].

Kontrowersje i krytyka pojęcia

Koncepcja masy relatywistycznej jest dyskutowana^[28][29], krytykowana^{[8][5][2][30][31]}, broniona^[32][33][34]. Nadal występuje w wielu podręcznikach i pracach popularyzujących teorię względności^{[3][35][36][37][38][39]}. W gronie krytyków znalazł się między innymi astrofizyk teoretyczny i popularyzator Sean M. Carroll^[40].

Historyczno-matematyczna metaanaliza pojęcia masy relatywistycznej została przedstawiona w artykule^[41]. Zaproponowano w nim dziesięć równoważnych, ale nietożsamych definicji masy relatywistycznej.