Loading AI tools
metoda numeryczna rozwiązywania równań liczbowych oparta na stycznych Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Metoda Newtona (zwana również metodą Newtona-Raphsona lub metodą stycznych) – algorytm iteracyjny prowadzący do wyznaczenia przybliżonej wartości miejsca zerowego funkcji jednej zmiennej lub wielu zmiennych[1].
![]() | |
Rodzaj |
algorytm iteracyjny, wyznaczanie przybliżonej wartości pierwiastka funkcji |
---|
Niech będzie dana funkcja ciągła jednej zmiennej rzeczywistej, określona na przedziale
Zadanie polega na wyznaczeniu miejsca zerowego (pierwiastka) równania
tj. na znalezieniu liczby takiej że
Założenia:
Krok 1: Wybierz dowolną wartość startową np. (lub ); następnie wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie następnie wyznacz odciętą punktu przecięcia tej stycznej z osią OX – odcięta jest drugim przybliżeniem szukanego rozwiązania.
Krok 2: Wartość wybierz jako nową wartość startową i powtórz obliczenia z kroku 1 – otrzymasz nową wartość przybliżoną
Proces kontynuuj do chwili, gdy będzie spełniony warunek zapewniający uzyskanie wystarczającego przybliżenia, co kończy proces iteracyjny (warunki kończące proces opisano dalej).
Dowodzi się, że kolejne przybliżenia szukanego miejsca zerowego dane są wzorem rekurencyjnym:
Błąd -tego przybliżenia można oszacować poprzez nierówności:
lub
gdzie – dokładna wartość pierwiastka, zaś stałe zadają wzory:
oraz
Stosowanych jest kilka kryteriów zakończenia obliczeń ( to przyjęta dokładność obliczeń):
Metoda Newtona-Raphsona jest metodą o zbieżności kwadratowej – rząd zbieżności wynosi 2 (wyjątkiem są zera wielokrotne, dla których zbieżność jest liniowa i wynosi 1), zaś współczynnik zbieżności Oznacza to, iż przy spełnionych założeniach błąd maleje kwadratowo wraz z ilością iteracji.
Metoda Newtona jest metodą rozwiązywania równań często używaną w solverach, ze względu na jej szybką zbieżność (w algorytmie liczba cyfr znaczących w kolejnych przybliżeniach podwaja się). Wadą jej jest fakt, iż zbieżność nie musi zawsze zachodzić. W wielu przypadkach metoda bywa rozbieżna, kiedy punkt startowy jest zbyt daleko od szukanego pierwiastka równania.
Profesjonalne solvery wykorzystują stabilniejsze, lecz mniej wydajne metody (jak np. metoda bisekcji) do znalezienia obszarów zbieżności w dziedzinie funkcji, a następnie używają metody Newtona-Raphsona do szybkiego i dokładniejszego obliczenia lokalnego pierwiastka równania. Dodatkowo solvery posiadają zabezpieczenia przed nadmierną liczbą wykonywanych iteracji (przekroczenie ustalonej liczby iteracji jest równoznaczne z niepowodzeniem algorytmu w zadanym przedziale).
Za pomocą metody Newtona można obliczyć pierwiastek dla każdej liczby
Funkcja f(x) ma postać:
Wzór rekurencyjny ma postać:
Dla danych i algorytm przebiega następująco:
Metodę Newtona można uogólnić do przypadku wielowymiarowego, tj. użyć jej do rozwiązywania układów równań wielu zmiennych (liniowych lub nieliniowych).
Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni oraz będzie funkcją różniczkowalną.
Zadaniem uogólnionej metody Newtona jest znalezienie punktu dla którego funkcja zeruje się, tj.
gdzie
Algorytm, podobnie jak dla przypadku jednowymiarowego, polega na wyborze punktu startowego (często wybiera się wektor zerowy lub wektor jedynek), a następnie rekurencyjnym przekształcaniu tego wektora aż do momentu, gdy kolejne przybliżenia będą satysfakcjonujące. Wektory przekształcane są zgodnie z równaniem macierzowym:
gdzie jest pochodną (Frécheta) – jest to de facto macierz wielkości
Przy implementacji metody, zamiast odwracania macierzy efektywniej jest rozwiązać układ równań (tożsamy z powyższym równaniem):
a następnie na podstawie obliczonego d wyznaczyć kolejne przybliżenie:
Kryterium zakończenia obliczeń podobnie jak w metodzie jednowymiarowej może być (w zadanej normie oraz dokładności ):
Jeśli funkcja F:
to dla punktu startowego będącego dostatecznie blisko x*, wielowymiarowa metoda Newtona jest zbieżna oraz zbieżność ta jest kwadratowa.
Przy rozwiązywaniu równań nieliniowych kłopotliwymi dla metody Newtona mogą być pierwiastki wielokrotne, dla których zbieżność algorytmu staje się liniowa. Dla takich przypadków metoda Newtona może być dużo wolniejsza niż inne metody rozwiązywania równań o zbieżności liniowej.
Aby zaradzić tego typu problemom, w praktyce stosuje się następujące podejścia:
Metody rozwiązywania równań nieliniowych:
Inne:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.