![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Pr%25C3%25BCfer.png/640px-Pr%25C3%25BCfer.png&w=640&q=50)
Grupa Prüfera
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Grupa Prüfera, p-grupa Prüfera a. grupa p-quasicykliczna – dla ustalonej liczy pierwszej p, wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) grupa torsyjna, w której każdy niezerowy element ma p pierwiastków p-tego stopnia. Nazwa pojęcia odnosi się do nazwiska niemieckiego matematyka Heinza Prüfera.
- p-grupa Prüfera może być reprezentowana jako podgrupa grupy okręgu jednostkowego
jako zbiór wszystkich możliwych pierwiastków z jedynki stopnia
przy
przebiegającym wszystkie nieujemne liczby całkowite:
- Z drugiej strony p-grupę Prüfera można postrzegać jako p-podgrupę Sylowa grupy
składającą się ze wszystkich elementów rzędu wyrażającego się jako potęga
- Istnieje następująca prezentacja p-grupy Prüfera (w zapisie addytywnym):
- p-grupa Prüfera jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) nieskończoną p-grupą, która jest grupą lokalnie cykliczna (dowolny podzbiór skończony grupy generuje grupę cykliczną). Innymi słowy p-grupa jest p-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy jej każda podgrupa właściwa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej
istnieje w niej podgrupa rzędu
- p-grupa Prüfera jest podzielna.
- p-grupy Prüfera, dla wszystkich liczb pierwszych p, są jedynymi grupami nieskończonymi, których podgrupy są liniowo uporządkowane przez inkluzję. Ponieważ p-grupy Prüfera nie zawierają podgrup maksymalnych, to są one swoimi własnymi podgrupami Frattiniego. Poniższy ciąg zawierań przedstawia p-grupę Prüfera jako granicę prostą swoich podgrup skończonych:
- W teorii lokalnie zwartych grup topologicznych p-grupa Prüfera (wyposażona w topologię dyskretną) jest sprzężona w sensie Pontriagina do grupy zwartej p-adycznych liczb całkowitych, odwrotnie: p-grupa Prüfera jest sprzężeniem w sensie Pontryagina grupy p-adycznych liczb całkowitych[1].
- Jako
-moduł p-grupa Prüfera jest modułem artinowskim, lecz nie noetherowskim; podobnie jako grupa: jest ona artinowska, ale nie noetherowska (podgrupy grupy abelowej są abelowe i pokrywają się z odpowiednimi podmodułami tej grupy traktowanej jako
-moduł). Ten fakt może służyć jako kontrprzykład na to, iż nie każdy moduł artinowski jest zarazem noetherowski (choć każdy pierścień artinowski jest noetherowski).
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Pr%C3%BCfer.png/640px-Pr%C3%BCfer.png)