![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Tschirnhausen_cubic.svg/langno-640px-Tschirnhausen_cubic.svg.png&w=640&q=50)
Algebraisk kurve
From Wikipedia, the free encyclopedia
En algebraisk kurve er definert som en spesiell klasse kurver som er gitt ved løsningen av en polynomligning med to variable. Mer formelt kan den sies å være en endimensjonal, matematisk varietet.
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Tschirnhausen_cubic.svg/320px-Tschirnhausen_cubic.svg.png)
Det enkleste eksempel på en algebraisk kurve er en rett linje gjennom origo. Den er gitt ved ligningen y - ax = 0 hvor a er stigningstallet. Tilsvarende beskriver ligningen x2 + y2 - a2 = 0 en sirkel med sentrum i origo og radius lik med a. Andre kjeglesnitt som parabel og hyperbel er også beskrevet ved løsning av slike andregradsligninger.
Generelt er en algebraisk kurve gitt ved ligningen F(x,y ) = 0 hvor polynomet
har koeffisientene ak(x) som igjen er polynom i den variable x. Løsningen av denne polynomligningen kalles for en algebraisk funksjon. Niels Henrik Abel viste at disse kun kunne finnes ved rottagninger for n < 5. For andre verdier er løsningen y = f(x) bare gitt som en implisitt funksjon via den gitte polynomligningen. Når x er et reelt tall, er dette ligningen for kurven i det affine planet. I alminnelighet kan den skjære seg selv en eller flere ganger. Dette er spesielle punkt på kurven som kalles dens singulariteter.
Ved å betrakte slike polynom med variable som tilhører andre tallkropper enn de reelle tallene, fremkommer mer abstrakte, algebraiske kurver. Dette kan skje for eksempel ved bruk av rasjonale tall eller endelige tallkropper. Ved en utvidelse av de reelle tallene til komplekse tall, vil algebraens fundamentalteorem bety at polynomligningen alltid kan løses og uttrykkes ved dens røtter eller nullpunkt. De geometriske egenskapene til kurvene kommer dermed til uttrykk på nye måter ved at koblingen mellom algebra og geometri blir tettere.
Med en slik generalisering vil en linje alltid skjære en sirkel i to punkt. Går den gjennom sirkelen, er skjæringspunktene reelle. Når linjen ligger utenfor, vil skjæringspunktene være komplekse. På samme måte vil en algebraisk kurve y = f(x) hvor begge koordinatene er komplekse, da ha to reelle dimensjoner og derfor i alminnelighet beskrive en 2-dimensjonal flate i et rom med fire reelle dimensjoner. Det kan vises at dette er en Riemann-flate.
Forståelsen av algebraiske kurver kan også utvides ved å betrakte dens koordinater (x,y) ikke i det affine planet, men som den endelige delen av et projektivt plan med koordinater (X,Y,Z ) slik at x = X/Z og y = Y/Z. De endelige punktene vil da ha Z = 1, mens punkt på kurven i det uendelige vil ligge på linjen Z = 0. På denne måten kan de behandles på like fot med alle andre punkt.
Algebraiske kurver utgjør en viktig del av algebraisk geometri. Den spesielle klassen som kalles elliptiske kurver spiller i dag en praktisk rolle ved kryptering av elektronisk kommunikasjon.[1]