Тетивен четириаголник

Тетивен четириаголник — четириаголник околу кој може да се опише кружница. Со други зборови, четириаголникот е тетивен ако сите негови темиња се точки на една кружница^[1]. Името тетивен доаѓа од тоа што секоја страна на таков четириаголник е тетива во тој круг.

Сл. 1 Општ случај на тетивен четириаголник

Тетивни четириаголници се: квадрат, правоаголник и рамнокрак трапез. Делтоидот е тетивен ако има два прави агли.

Четириаголници за кои со сигурност знаеме дека околу нив не може да се опишат кружници (не се тетивни) се паралелограмот и ромбот.

Основно својство на тетивен четириаголник:

Четириаголникот е тетивен ако и само ако симетралите на неговите страни се сечат во една точка.^[2]

Исто така важна е особината:

Четириаголник е тетивен ако и само ако збирот на секои два спротивни агли е еднаков на 180° (спротивните агли се суплементни).

Сл. 2 Односи меѓу аглите во тетивен четириаголник

${\displaystyle \,\alpha +\gamma =180^{\circ }}$

${\displaystyle \,\beta +\delta =180^{\circ }}$

што може да се види од сликата на која се прикажани централниот и периферниот агол над дијагоналата. (сл. 2) Од ова произлегува дека секој четириаголник што има два спротивни прави агли е тетивен.

Четириаголник во кој може истовремено да се впише и опише кружница се нарекува тангентно-тетивен четириаголник или двоцентричен четириаголник.

Сл. 3 примери

Некои својства на тетивниот четириаголник

Површината на тетивен четириаголник со страни ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ може да се изрази со помош на полуобемот ${\displaystyle s\,}$, при што

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

со формула наречена Брамагуптина формула:

${\displaystyle P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

или со формулата во која се појавуваат страните на четириаголникот и полупречникот на опишаната кружница ${\displaystyle R\,}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$ .

Ако дијагоналите на овој четириаголник се ${\displaystyle e\,}$ и ${\displaystyle \,f}$ (сл. 1), тогаш површината може да се изрази со формулите

${\displaystyle P={\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}}$ ,

каде дијагоналите се пресметуваат со формулите

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$ и ${\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}}$ .

Дијагоналите на тетивниот четириаголник се сечат во точка ${\displaystyle P\,}$ (сл. 1), а односот помеѓу деловите на дијагоналата се изразува со формулата ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$ .

Птоломејова теорема

Ако ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ се страниците, а ${\displaystyle e\,}$ и ${\displaystyle \,f}$ дијагоналите на тетивниот четириаголник, тогаш е

${\displaystyle ef=ac+bd\,}$ .

Поврзано

• Тангентен четириаголник
• Тетивно-тангентен четириаголник

Наводи

1. Владимир Стојановић, Тетиве и тангенте, Математископ.
2. Војислав Петровић, Тетивни и тангентни четвороуглови, Друштво математичара Србије.