Делтоид

Во геометрија, делтоид е четириаголник каде што два пара на соседни страни се складни, т.е. со иста должина.^[1]

• Основна регулатива: Делтоид е потполно определен ако се знаат должините на нееднаквите страни a и b и аголот ∠ab помеѓу нив.

Делтоид
Делтоид е како змеј
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Група на симетрија	D1
Плоштина	ab·sin(∠ab)
Обем	2a+2b

Формули

Обем	${\displaystyle L=2(a+b)\,}$
Плоштина	${\displaystyle P={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}=ab\sin(\angle ab)}$
Дијагонали	${\displaystyle d_{1}={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\angle ab)}}}$
	${\displaystyle d_{1}={\sqrt {a^{2}-(^{d_{2}}/_{2})^{2}}}+{\sqrt {b^{2}-(^{d_{2}}/_{2})^{2}}}}$	${\displaystyle d_{1}=a\cos {\frac {\angle aa}{2}}+b\cos {\frac {\angle bb}{2}}}$
	${\displaystyle d_{2}={\frac {4}{d_{1}}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-d_{1})}},\;\;s={\frac {1}{2}}(a+b+d_{1})}$	${\displaystyle d_{2}=2a\sin {\frac {\angle aa}{2}}}$

Дијагонали на делтоид

• Дијагоналите d₁ и d₂ се меѓусебно нормални, т.е. се сечат по прав агол.
• Со дијагоналите на делтоид може да се одредува плоштината на делтоидот, но не самиот делтоид.^[2]

Различни делтоиди со исти дијагонални (ја имаат истата плоштина, но различни обеми)

Конструкција на делтоид

• Дијагоналата на делтоид која ги сврзува темињата помеѓу истите страни (на сликата означена со d₁) се вика главна дијагонала и е симетрала на самиот делтоид и го дели делтоидот на два складни триаголници.^[3] Тие се потполно определени со особината САС: (страна, агол, страна)=(a,∠ab,b), а главната дијагонала е третата страна.^[4]
• Дијагоналата на делтоид која ги сврзува темињата помеѓу различните страни (на сликата означена со d₂) го дели делтоидот на два рамнокрак триаголници.^[3]

Посебни случаи

Стрелка (неиспакнат делтоид)

• Обично се бара делтоид да е испакнат многуаголник. Постојат и вдлабнати четириаголници каде што два пара на соседни страни се складни. Истите се викаат стрелки.
• Потребен и доволен услов за делтоид да е испакнат е да аголот ∠ab помеѓу страните a и b, a>b e:   arccos(^b⁄_a) < ∠ab < 180°
• Ромб е (испакнат) делтоид со четири еднакви страни.
• Квадрат е (испакнат) делтоид со четири еднакви агли.

Карактеризации

испакнат четириаголник е делтоид ако и само ако е исполнет кој било од следниве услови:

• Два пара на соседни страни се еднакви (дефиниција).
• Едната дијагонала е симетрала на другата дијагонала.^[5]
• Едната дијагонала е симетрала на самиот делтоид (го дели во два складни триаголници).^[6]
• Едната дијагонала е аголна симетрала на пар обратни агли.^[6]

Впишана кружница

Впишана кружница на делтоид

Секој (испакнат) делтоид има впишана кружница, т.е. постои кружница која е тангентна на сите четири страни така што секој (испакнат) делтоид е тангентен четириаголник ^[7].

Тогаш: ${\displaystyle r=(a\cos {\frac {\alpha }{2}}+b\cos {\frac {\beta }{2}}){\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}}};\;\alpha =\angle aa,\;\beta =\angle bb}$.

Наводи

1. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics: "Kite"“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 446. Посетено на 1 септември 2013.
2. „Интерактивно објаснување за дијагоналите на делтоид“. Архивирано од изворникот на 2017-10-30. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
3. Halsted, George Bruce (1896). „Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals“. Elementary Synthetic Geometry. J. Wiley & Sons. стр. 49–53.
4. Стојановска, Л. „Интерактивно објаснување за делтоид“. Архивирано од изворникот на 2013-09-16. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
5. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing. стр. 49–52.
6. de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. стр. 16, 55. ISBN 978-0-557-10295-2.
7. Златковска, С. „Интерактивен приказ за тангентен четириаголник“. Архивирано од изворникот на 2018-07-25. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

• Четириаголник
• Многуаголник
• Tангентен четириаголник
• Испакнат многуаголник

Надворешни врски

• Стојановска, Л. „Интерактивно објаснување за делтоид“. Архивирано од изворникот на 2013-09-16. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Делтоид“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
• Weisstein, Eric W. (2013). „Делтоид“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.^{[мртва врска]}
• „Делтоид“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Плоштина на делтоид“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен

• Портал: Математика