Ромб

Ромб
Ромб е паралелограм со 4 еднакви страни
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Шлефлиев симбол	D2, C2
Плоштина	a·h
Обем	4a
Својства	испакнат

Во геометријата, ромб е паралелограм со четири исти страни, т.е. четирите страни се со истата должина, односно се складни.^[1][2]

• Формално, ромб се дефинира како паралелограм со две соседни складни страни. (Бидејќи ромб е паралелограм, спротивни страни се складни. Ако и две соседни страни се складни, следува дека сите 4 страни се складни.)
• Основна регулатива: Ромб е потполно определен со должина на страна и големина на еден внатрешен агол. Исто така, ромб е потполно определен со должина на страна и висина (растојание помеѓу (било кои) две паралелни страни).

Формули и особини за ромб

Нека е даден ромб со страна a и внатрешен остар агол α.

Периметар

${\displaystyle L=4a}$

Плоштина е:^[3] должина по висина односно страна по висина

${\displaystyle P=a\cdot h}$    или    ${\displaystyle P={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}$

Висина

${\displaystyle h=a\cdot \sin(\alpha )}$    или    ${\displaystyle h={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2a}}}$

Карактеристики на ромб
Сите страни се исти.	Дијагонали на ромб.	Дијагоналите меѓусебно се нормални.	Дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.
Ромб е делтоид.	Дијагоналите се преполовуваат.	Висина h на ромб.	Впишана кружница на ромб.

• Бидејќи ромб е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
• Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите и средните линии се пресекуваат во една точка.
• Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.

Дијагонали на ромб

Дијагоналите на ромб се сечат под прав агол.

Дијагоналите на ромб ги преполовуваат внатрешните агли (на ромбот).

Доказ: Истовремено ќе ги докажеме двата искази. Бидејќи ромб е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат поделувајќи го ромбот на 4 складни триаголници според принципот ССС (страна-страна-страна). Со тоа аглите на 4-те триаголници се складни од што следува: (а) дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли и (б) 4-те агли околу пресечната точка на дијагоналите се складни, т.е. се по 90°.

Дијагонали

${\displaystyle d_{1}=a{\sqrt {2(1+\cos(\alpha ))}}}$   и   ${\displaystyle d_{2}=a{\sqrt {2(1-\cos(\alpha ))}}}$   (Види паралелограм.)

Карактеризации на ромб

• Обратното важи, т.е. паралелограм е ромб ако било кој од следните искази е вистинит.^[4]
  • 4-те страни се складни.
  • дијагоналите се сечат под прав агол.
  • дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли.

Симетрија

• Ромб има осна симетрија во однос на своите дијагонали, т.е. со ротација или свртување на ромб околу дијагонала се добива истиот ромб.
• Ромб има вртежна симетрија од 2-ри ред како паралелограм, т.е. ако ротираме ромб ^360°/₂=180° се добива истиот ромб.

Впишана и опишана кружница на ромб

• Ромб е тангентен четириаголник, т.е. има впишана кружница таква да сите четири страни на ромбот се тангенти на кружницата.

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден испакнат четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи ромб е тангентен четириаголници.^[5]

Формула: Полупречникот r на впишаната кружница е половина од висината h^[6]

${\displaystyle r={\frac {h}{2}}={\frac {a\sin(\alpha )}{2}}}$

• Ромб нема опишана кружница освен ако е квадрат.

Ромб и делтоид

• Секој ромб е и делтоид бидејќи има два пара складни соседни страни како што се бара за делтоид. Следува и од тука дека:
  • Дијагоналите на ромб се сечат под прав агол.
  • Ромб е тангентен четириаголник, т.е. има впишана кружница.

Обопштување на ромб

• Обопштување во 3Д: Ромбоедар е полиедар со 6 страни, секоја од која е ромб.

Наводи

1. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 686. Посетено на 1 септември 2013.
2. „Ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
3. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 120.
4. Kleyn, I. „Дијагонали на ромб се сечат под прав агол“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.
5. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521..
6. Kleyn, I. „Кружница впишана во ромб - повеќе методи“ (англиски). algebra.com. Посетено на 1 септември 2013.

Поврзани теми

• Квадрат
• Делтоид
• Ромбоид
• Паралелограм
• Четириаголник, Многуаголник

Надворешни врски

• Стојановска, Л. (2010). „Ромб“. Архивирано од изворникот на 2013-09-16. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Плоштина на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Периметар на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• „Дијагонали на ромб“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
• Weisstein, Eric W. (2013). „Ромб“ (англиски). Math World- A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.
• R. Pierce (2011). „Ромб“ (англиски). MathisFun. Посетено на 1 септември 2013.
• „Полупречник на впишана кружница во ромб“ (англиски). Math Central. Посетено на 1 септември 2013.

• Портал: Математика