Трапез

Трапез
Трапезот има две паралелни страни
Вид	Четириаголник
Рабови и темиња	4
Плоштина	h · (a+b)/2
Обем	a+b+c+d

Во геометрија, трапез е испакнат четириаголник со точно еден пар паралелни страни. Има три „типа“ на трапези.^[1]

• Општ трапез: непаралелните страни не се со еднаква должина и нема внатрешен прав агол.
• Рамнокрак трапез: Непаралелните страни се со еднаква должина.
• Правоаголен трапез: Има точно два внатрешни агли по 90°.

Трапези		Рамнокрак трапез	Правоаголен трапез

• Паралелните страни се викаат основи и (обично) се означуваат со a и b. (За полесно означување земаме a>b.)
• Непаралелните страни се викаат краци и (обично) се означуваат со c и d
• Растојанието помеѓу паралелните страни се вика висина и (обично) се означува со h.

Формули и особини за општ трапез

Нека е даден трапез со основи (паралелни страни) a и b, со краци c и d и со висина h.

Периметар

${\displaystyle L=a+b+c+d}$

Плоштина^[2]

${\displaystyle P={\frac {(a+b)}{2}}\cdot h}$

• Бидејќи секој трапез е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
• Плоштината на еден трапез се одредува со должините на двете основи и висината. Меѓутоа, само со тие информации, трапез не е еднозначно определен, односно постојат безброј многу различни трапези со истите основи и висина.
• Бидејќи секој крак на трапез е и трансверзала на паралелните основи, внатрешните агли кај секој крак се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
• Исто така, бидејќи секој крак е трансверзала, основите на трапезот не се еднакви: a≠b. (Доколку a=b, четириаголникот би имал два пара на паралелни страни, па би бил паралалелограм, а не трапез.)
• Еден трапез е потполно определeн со должините на четирите страни (и знаење кои страни се паралелни). Mеѓутоа од секоја комбинација на четири должини не се добива трапез (види подолу).

Висина ^[3]

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}{2|a-b|}}}$

Основна поставка: Трапез со основи a и b и краци c и d постои ако и само ако h постои, т.е. ако и само ако поткорениот израз во погорната формула за h е позитивен број.^[4]

Во подолните примери, a и b се основите (паралелните страни).

Пример: Нека е a=12m, b=10m, и h=6m. Плоштината на ваков трапез е: P=66m². Meѓутоа, трапезот не може еднозначно да се определи, а и периметарот L не е одредлив.

Пример: Нека е a=19mm, b=8mm, c=7mm и d=6mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е 5760>0 и h=3,45 (приближно). Периметарот e L=40mm, a плоштината e P=46,57mm² (приближно)

Пример: Нека е a=19mm, b=7mm, c=4mm и d=5mm. Користејќи ја формулата за висина h, поткорениот израз е -9009<0. Нема трапез со овие димензии.

Терминологија

Во САД и Канада се користи зборот трапезоид (trapezoid) за трапез, а зборот трапезиум (trapezium) за трапезоид (без паралелни страни).^[5] Вон САД и Канада, англиските зборови ја имаат обратното значење, а истите се слични/исти со зборовите користени низ Европа вклучувајќи ја и Р.М., односно се користи зборот трапезиум за трапез, а зборот трапезоид за трапезоид.^[1]

Рамнокрак трапез

Трапез во кој непаралелните страни се складни, т.е. со иста должина се вика рамнокрак трапез. Во рамнокрак трапез, внатрешните агли кај секоја основа се еднакви (складни). Рамнокрак трапез е потполно определен ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било агол, h е висината , c е (кој било) крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=9 cm, h=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш ^{(a - b)}/₂ = ^h/_tan(45°) = ^3 cm/₁ = 3 cm и a - b=6 cm и b=3 cm. c = ^h/_sin(45°) = 3√2 cm =4,24 cm. Горните внатрешни агли се по 180°-45°=135°.

Пример: Нека е a=5 cm, h=3 cm и α=45° нека e аголот помеѓу a и c. Тогаш ^{(a - b)}/₂ = ^h/_tan(45°) = ^3 cm/₁ = 3 cm и a - b=6 cm и b= -1 cm. Таков трапез не постои.

Правоаголен трапез

Трапез кој има точно два внатрешни агли по 90° се вика правоаголен трапез. Од суплементноста на внатрешните агли на секој крак на трапез следува дека правите агли доаѓаат во парови, т.е. ако еден внатрешен агол е прав агол, тогаш и другиот агол на тој крак е прав. Меѓутоа, четириаголник со 4 прави агли е правоаголник, а истиот има два пара на паралелни страни, а во Р Македонија таков четириаголник не се смета за трапез (се бара точно еден пар паралелни страни.)

Правоаголен трапез е потполно дефиниран ако се знае должината на едната основа и големината/должината на два од елементите α, h, d, или a-b каде што α е кој било од неправите агли, h е висината (и едниот крак), d е косиот крак и a-b е (позитивната) разлика на должините на основите. (Се разбира дека наместо должината b-a може да се знае и должината на другата основа.

Пример: Нека е a=7 cm, d=4 cm и α=30° e аголот помеѓу a и d. Тоѓаш a-b = d · sin(30°) = 4 cm · 0,5 = 2 cm и b=5 cm; h=d · cos(30°) = 2√3 cm =3,46 cm. Четвртиот агол е 180°-30°=150°.

Рамнокрак трапез	Правоаголен трапез		Средна линија m на трапез

Плоштина, средна линија и висина на трапез

Отсечката која ги сврзува средните точки на краците (непаралелните страни) на еден трапез се вика средна линија.

• Средната отсечка е паралелна со паралелните страни на трапезот.
• Должината на средната линија m е половина од збирот на основите a и b:

${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}$

Плоштината Р на трапез со средна линија m:

${\displaystyle P={\frac {a+b}{2}}\cdot h=m\cdot h}$

Плоштината Р на трапез со основи a, b и краци c и d:

${\displaystyle P={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)}}.}$

Кога една од паралелните страни „се смалува“ на точка (на пример b = 0), трапезот „станува“ триаголник со страни 'a, c и d и погорната формула се редуцира на Херонова формула за плоштина на триаголник.^[6]

Еквивалентна формула за плоштина која повеќе личи на Херонова формула е:^[3]

${\displaystyle P={\frac {a+b}{|a-b|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}},}$   каде што   ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}$   е полуобем на трапезот.

Трапез и неговите дијагонали (Геогебра интерактивност)^[7]

Дијагонали на трапез

Должините на дијагоналите се:^[3]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{a-b}}}}$

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{a-b}}}}$

Карактеризации на трапез

За даден испакнат четириаголник, следните особини се еквивалентни и се и доволен услов четириаголникот да има барем еден пар паралелни страни:

• Има два соседни агли кои се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.
• Аголот помеѓу една страна и една дијагонала е еднаков на аголот помеѓу обратната страна и истата дијагонала.
• Дијагоналите се сечат под истиот однос. (Овој однос е ист со односот помеѓу должините на паралелните страни).
• Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар се слични.
• Дијагоналите го делат четириаголникот во четири триаголници од кои еден спротивен пар ја имаат истата плоштина.^[8]:Prop.5

Понатаму, на еден трапез:

• Средните точки на основите (паралелните страни) и пресекот на дијагоналите се колинеарни.^[8]:Thm.15
• Отсечката која ги спојува средните точки на основите ја дели плоштината на половина.

Друго

Во калкулус и бројчена математика се користи таканаречениот метод на трапези за приближно пресметување на површина под позитивна рамнинска крива, односно за приближно пресметување на определен интеграл на соодветната функција f:R->R во одреден интервал.

Тежиште, односно центар на маса или центроид на трапез со униформна густина е пресекот на отсечката која ги спојува средните точки на основите и правата паралелна со основите која е на растојание x од поголемата основа каде што:^[9]

${\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {a+2b}{a+b}}\right).}$