Агол

Во елементарната геометрија, аголот е еден од најосновните поими. Агли се цртаат во дводимензионален простор, односно во рамнина.

• Агол се формира од две полуправи со заедничка почетна точка. На тој начин рамнината е поделена на два дела. Едниот дел на рамнината се вика внатрешност на аголот, а другиот дел се вика надворешност на аголот. За да се означи внатрешноста на аголот, се пишува кружен лак помеѓу полуправите со кои е определен аголот.^[1]
  • Заедничката почетна точка на полуправите се нарекува теме на аголот.
  • Полуправите се нарекуваат краци на аголот.
  • За еден агол велиме дека е конвексен, ако секоја отсечка чии крајни точки се на краците до аголот, лежи во тој агол.^[2]
  • За ознака на агол најчесто се користи мала буква од грчката алфабета како ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ итн.

Составни делови на агол	Некој агол означен со α	Друг агол означен со β	Трет агол означен со α

• Понекогаш агол може да се дефинира како рамнинска форма составена од две полуправи и теме заедно со неговата внатрешност, т.е. со сите точки „внатре“ во аголoт, т.е. сите точки помеѓу полуправите каде што е лакот на аголот.^{[3] [4]}
• Агол може да се дефинира како ротација, односно како количество на ротација околу темето кое е потребно за едната полуправа да се поклопи со друга полуправа, следејќи го лакот.

Агол
Агол α
Тип	агол во рамнина (2Д)
Поддршка	самостоен

Поврзано: Видови агли

Двете дефиниции за агол го имаат своето место во сфаќањето на поимот агол (види подолу).^[5]

Агли од точки, прави или отсечки

За да се определи агол во рамнина се потребни три различни точки од кои една е темето на аголот, а другите две служат за да се определат краците на аголот. Нека трите точки се означени со А, В и С. За цртање на аголот АВС, најпрво се цртаат полуправите од В низ А и од В низ С (со заедничка почетна точка В). Потоа, се црта кружен лак тргнувајќи од полуправата ВА кон полуправата ВС во насока спротивна на насоката на движење на стрелките на часовникот. Аголот се означува со ${\displaystyle \angle ABC}$ (види слика).

Агол од три точки
Три точки во рамнина	Полуправите од В	Внатрешност на аголот	Аголот ${\displaystyle \angle ABC}$

Две прави со пресечна точка В формираат четири посебни агли. Почнувајќи од точката В правите формираат четири полуправи, а секој пар последователни полуправи формира еден од четирите агли.

• Секој напореден пар агли (т.е. пар агли со заеднички крак) од овие четири агли кои се суплементни (т.е. збирот на нивни големини е рамен агол = 180°).
• Секој накрсен пар агли (т.е. пар агли без заеднички крак) од овие четири агла се складни (т.е. со еднаква големина).

Внатрешни агли α, β и γ и надворешни агли α′, β′ и γ′ на еден триаголник.

Геометриските форми како што се многуаголниците имаат парови на страни со заедничко теме. Страните на многуаголниците се отсечки што значи дека можат да се продолжуваат во (две) прави. Со ова се формираат четири посебни агли (види го претходното). Агол кој лежи во внатрешноста на многуаголникот се нарекува внатрешен агол на многуаголникот. Кој било од неговите напоредни агли се нарекува надворешен агол на многуаголникот. Меѓутоа, од двата надворешни агла за еден фиксен внатрешен агол за секое теме (види слика), се означува само едниот. Внатрешните агли на еден многуаголник определуваат голем број од неговите својства (види многуаголник).

Големина на агол во степени

Главна статија: Степен (агол)

Во елементарната геометрија, големината на еден агол е позитивна и се мери во единици кои се нарекуваат степени. Ознаката за степен е ^o, односно мало крукче како горен индекс. Помали единици за мерење на аголот се минута и секунда. Еден степен има 60 минути, а една минута има 60 секунди.^[6]

• Ако лакот на кој одговара аголот е целата кружница (краците се поклопуваат), тогаш аголот има 360 степени, односно 360^o. Агол од 360^o се нарекува полн агол.
  • За изборот на бројот 360 како основна поделба на кружницата види степен.
• Ако двете полуправи формираат права, тогаш темето на аголот е точка на правата, независно каде се пиши лакот таа е полукружница и аголот е со половина големина од цела кружница. Ваков агол има 180^o (како ½ од 360^o). Агол со 180^o се нарекува рамен агол.
• Ако лакот помеѓу двете полуправи формира четвртина кружница, таа се вика прав агол или квадратен агол и има 90^o (како ¼ од 360^o). Сите внатрешните агли на квадрат или правоаголник се прави агли.

• Значи, во елементарната геометрија, големината на агол α е пропорционален на делот на лакот кој одговара на аголот, во однос на целата кружница, т.е. пропорцијата на аголот од 360^o (полн агол).
• Во елементарната геометрија, секој агол α има позитивна големина и тоа:   ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha \leq 360^{\circ }}$

Агломер со 180°

• За цртање на агол со одредена големина или за мерење на големина на веќе нацртан агол може да се користи агломер (види агломер).

Пример: Нека е даден агол кој е 5 пати помал од полниот агол. Големината на дадениот агол е ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{5}}=72^{\circ }}$.

Пример: Нека е даден еден агол и два такви агла формираат рамен агол. Следува дека големината на дадениот агол е ${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{2}}=90^{\circ }}$.

Пример: Нека е даден триаголник со три еднакви внатрешни агла. За триаголниците во Евклидова геометрија важи правилото дека збирот на внатрешните агли на триаголник изнесува ${\displaystyle {180^{\circ }}}$. Следува дека големината на секој од внатрешните агли на дадениот триаголник е ${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{3}}=60^{\circ }}$ (види рамностран триаголник).

Дефиниции на агол

Кај дефиницијата на агол како форма со внатрешност која е множеството од точките опфатени помеѓу краците, секогаш се сфаќа дека големината на аголот е позитивна. Агли во геометриски фигури се разгледуваат од оваа гледна точка. На пример, големината на сите агли во еден многуаголник (внатрешни или надворешни) се позитивни. Аглите дефинирани според оваа дефиниција едноставно се цртаат. Меѓутоа, според оваа дефиниција потешко се разбира поимот за големина на аголот.^[7]

Со дефиницијата на агол како ротација, едноставно се пресметува големината на аголот како пропорција на ротацијата во однос на цела ротација, односно во однос на полн агол кој има 360^o. Исто така, оваа дефиниција може да се обопштува со поимот за насока на ротација и се дефинираат позитивни и негативни агли. Меѓутоа, со оваа дефиниција потешко се разбира цртањето на агол.^[8]

Во елементарната геометрија, агол истовремено се смета и како фигура и и како ротација. Велиме „Да се нацрта ${\displaystyle \angle ABC=45^{\circ }}$.“, а мислиме „Да се нацрта агол ${\displaystyle \angle ABC}$ со големина ${\displaystyle 45^{\circ }}$“. Значи кај поимот агол, фигурата и нејзината големина се непосредно поврзани.

Видови на агли

Главна статија: Видови агли

Агол ${\displaystyle \alpha }$ според неговата големина може да биде позитивен и негативен.

Друга поделба на ненасочените агли во рамнината според нивната големина е следнава: агол ${\displaystyle \alpha }$ за кој важи дека ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha \leq 360^{\circ }}$може да биде:

${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$	празен агол
${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }}$	остар агол
${\displaystyle \alpha =90^{\circ }}$	прав агол
${\displaystyle 90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }}$	тап агол
${\displaystyle \alpha =180^{\circ }}$	рамен агол
${\displaystyle 180^{\circ }<\alpha <360^{\circ }}$	неиспакнат агол
${\displaystyle \alpha =360^{\circ }}$	полн агол

Некои парови на агли имаат меѓусебен однос и заемна класификација:

• напоредни, т.е. два соседни агли што образуваат рамен агол.^[9]
• накрсни,
• суплементни,
• комплементни,
• соседни.

Оваа поделба на аглите може да се употреби и кај агли на трансферзалa на две паралелни прави.

Аглите во однос на положбата на темето во однос на кружница се делат на:

• централни (агли со теме во центарот на кружницата) и
• периферни (агли со теме на кружницата).

Големина на агол во радијани

Главна статија: Радијан

• За мерење на аголот се користи и градусот (градијанот), кој бил воведен по Француската револуција и најмногу се користел во артилеријата на француската армија. Ознака за градијан ${\displaystyle ^{g}}$, grad, grd или gr. Се нарекува уште и „нов степен“. Правиот агол има ${\displaystyle 100^{g}}$, рамниот агол има ${\displaystyle 200^{g}}$ (${\displaystyle 180^{\circ }=200^{g}}$), а полниот агол има ${\displaystyle 400^{g}}$(${\displaystyle 360^{\circ }=400^{g}}$). Помали единици од градусот се центизималната минута и центизималната секунда при што едне градус има 100 центизимални минути, а таа пак има 100 центизимални секунди.^[10]
• Радијанот е ознака за агол која е присутна во SI-системот на интернационални мерки и се користи претежно во науката и научната литература. Ознака за радијан е ${\displaystyle {\rm {rad}}}$, но таа понекогаш не се пишува затоа што е бездимензионална. Големина на агол без ознака за степени (би требало) да значи дека е мерена во радијани. Честопати при првото објаснување на радијани се користи ознака rad. Еден радијан е големина на централен агол во некоја кружница кој одговара на кружен лак на таа кружница со должина еднаква на полупречникот на кружницата.^[11] Правиот агол има ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ радијани, рамниот агол има ${\displaystyle {\pi }}$ радијани, а полниот агол има ${\displaystyle 2\pi }$ радијани.

Денес, типичен научен калкулатор има копче (или комбинација од копчиња) за промена на мерната единица на аглите (анг. mode) со која ќе работи дигитронот. Тоа копче обично е DRG. Изборот на мерната единица се прави пред да се внесе големината на аголот.

Пример: Еден агол ${\displaystyle \alpha }$ има големина 2, т.е. ${\displaystyle \alpha =2}$. Бидејќи нема знак за мерна единица, значи дека големината е зададена во радијани. Големината на овој агол во степени е

${\displaystyle \alpha =2=2\cdot 1=2\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}={\frac {360^{\circ }}{\pi }}\approx 114{,}60^{\circ }}$

На интернет, повеќето пребарувачи вршат автоматско претворање на големината на аголот од една во друга мерна единица.

Пример: Аголот ${\displaystyle \alpha }$ има 45°. Во пребарувач се внесува 45 degrees in radians. По притискање на ентер се добива 45 degrees=0,785398163 radians, т.е. ${\displaystyle 45^{\circ }\approx 0{,}785}$. Меѓутоа, егзактниот одговор е: ${\displaystyle {180^{\circ }}={\frac {\pi }{4}}}$.^[12]

Агол во стандардна положба

Во Декартов правоаголен координатен систем, аголот ${\displaystyle \alpha }$ е во стандардна положба ако темето е во координатниот почеток ${\displaystyle O(0,0)}$ и почетниот крак е позитивниот дел на ${\displaystyle x}$-оската.^[13] Ако агол е зададен во стандардна положба, можно е да не се означи почетниот крак, т.е. да не се означи посебно дека позитивниот дел од ${\displaystyle x}$-оската е почетен крак на аголот.

Насока на завртување. Агли со произволна големина

Надвор од елементарната геометрија, корисно е големина на агол да може да биде кој било реален број. За таа цел, најпрво се дефинира поимот насока на завртување и насочен агол. Во продолжение ќе работиме со агли во стандардна положба.

Насока на завртување (ротација) е насоката по која се завртува (ротира) првиот крак на аголот сè додека не се поклопи со вториот крак, без притоа да се враќа наназад. Има две насоки во кои може да се движи првиот крак:

• позитивна или обратна од насоката на движењето на стрелките начасовникот и
• негативна или иста со насоката на движењето на стрелките начасовникот.

Соодветно на насоката на ротација се дефинира знакот на големината на некој агол:

• големината на аголот е позитивна (или аголот е позитивен) ако насоката од првиот кон вториот крак на аголот е позитивна и
• големината на аголот е негативна (или аголот е негативен) ако насоката од првиот кон вториот крак на аголот е негативна.

Гледаме дека на овој начин може да се дефинира агол со произволна големина.

Забелешка: Најчесто аглите во III и IV квадрант се означуваат како негативни агли. Циклометриските функции (инверзните функции на тригонометриските функции) за синус и тангенс се дефинираат на интервалот ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ и пресметувањето на нивните вредности со дигитрон дава вакви агли. На пример, ${\displaystyle \mathrm {tg} (-1)=-{\frac {\pi }{4}}=-45^{\circ }}$.^[5]

Котерминалност на агли

Два аглa се нарекуваат котерминални ако имаат исти темиња, почетниот крак на првиот агол се поклопува со почетниот крак на вториот агол и крајниот крак на првиот агол се поклопува со крајниот крак на вториот агол.^[14]

• Услов за котерминалност. Аголот ${\displaystyle \alpha +360^{\circ }\cdot k}$, односно ${\displaystyle \alpha +2\pi k}$, е котерминален со аголот ${\displaystyle \alpha }$ за секој цел број ${\displaystyle k}$.
• Единственост. За секој агол постои единствен котерминален агол ${\displaystyle \alpha }$ за кој: ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <360^{\circ }}$ односно ${\displaystyle 0\leq \alpha <2\pi }$ (види слики подолу)

Примери:

• Аголот ${\displaystyle -{\frac {\pi }{4}}=-45^{\circ }}$ е котерминален со аголот ${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}=315^{\circ }}$. Крајниот крак на двата аглa е во истата положба во IV квадрант.
• Аголот ${\displaystyle -{\frac {5\pi }{6}}=-150^{\circ }}$ е котерминален со аголот ${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}=210^{\circ }}$. Крајниот крак на двата аглa е во истата положба во III квадрант.
• Аголот ${\displaystyle -0,6}$ е котерминален со аголот ${\displaystyle -{0,6}=-0,6+2\pi }$. Крајниот крак на двата аглa е во истата положба во IV квадрант (види слика).еколку агли и нивните котерминални агли.

На сликата подолу се прикажани позитивни, негативни и котерминални агли.

Три (различни) агли во стандардна положба Агол со негативна големина (степени) Позитивен агол (агол со позитивна големина изразена во степени) Негативен агол (агол со негативна големина изразена во радијани) Соодветните котерминани агли помеѓу 0° и 360° Агол од –53° котерминален со –53°+360°=307° Агол од 394° котерминален со 394°–360°=34° Агол од –15,063 котерминален со –15,063+6π=3,787

Примери: Аголот ${\displaystyle 394^{\circ }=394^{\circ }-360^{\circ }=34^{\circ }}$.

Аголот ${\displaystyle -1232^{\circ }=-1232^{\circ }+4\cdot 360^{\circ }=208^{\circ }}$.

Аголот ${\displaystyle 4\pi =4\pi -2\cdot 2\pi =0}$.

Аголот ${\displaystyle -8,276=-8,276+2\cdot 2\pi \approx 4,2904}$.

• За кој било агол ${\displaystyle \alpha }$, котерминалниот агол помеѓу ${\displaystyle 0^{\circ }}$ и ${\displaystyle 360^{\circ }}$ (или помеѓу ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 2\pi }$) се добива со повеќекратно одземање (ако е позитивен) или повеќекратно додавање (ако е негативен) на 360° (или на ${\displaystyle 2\pi }$).
• Забелешка: Иако во примерите се користи знакот =, ова не е правилно! Правилно, треба да се каже дека двата агла се котерминални. Меѓутоа, најчесто оваа дистинкција не е битна.
  • Битна може да биде во реални ситуации. На пример, не е исто завртување на кола на мраз за агол од ${\displaystyle 720^{\circ }}$ и завртување за гол од ${\displaystyle 360^{\circ }}$ или за агол од ${\displaystyle 0^{\circ }}$.
  • Во математиката, оваа дистинкција е битна при пресметување на вредности на сложени функции кои содржат и нетригонометриски функции. На пример, вредноста на фукцијата ${\displaystyle f(x)=x\cdot \sin(x)}$ за ${\displaystyle x=-8,276}$ e ${\displaystyle f(-8,276)=(-8,276)\cdot \sin(-8,276)=(-8,276)\cdot (-0,9123)=7,5499}$, a вредноста на истата функција за ${\displaystyle x=4,2904}$ e ${\displaystyle f(4,2904)=(4,2904)\cdot \sin(4,2904)=(4,2904)\cdot (-0,9123)=-3,914}$.

Агол во поларен координатен систем

Агли во рамнински координатни системи

Во геометријата во рамнината, на точка со правоаголни координатни ${\displaystyle T(x,y)}$ се придружува еднозначно определен агол ${\displaystyle \varphi }$ во стандардната положба на следниов начин. Темето на ${\displaystyle \varphi }$ е координатниот почеток ${\displaystyle O(0,0)}$, позитивниот дел од ${\displaystyle x}$-оската е почетниот крак (и вообичаено не се обележува), а крајниот крак е од координатниот почеток низ точката ${\displaystyle T}$. Лакот со кој се означува аголот ${\displaystyle \varphi }$ почнува од х-оската во насоката спротивна на движењето на стрелките на часовникот завршувајќи на крајната полуоска низ ${\displaystyle T}$. Земајќи ${\displaystyle \rho ={\overline {OT}}}$ - должината на отсечката ${\displaystyle OT}$, на секоја точка ${\displaystyle T}$ во рамнината може на единствен начин да и се придружи подредени пар ${\displaystyle (\rho$ ;\varphi )} кои се викаат координати на ${\displaystyle T}$ во т.н. поларен координатен систем. Означуваме ${\displaystyle T(\rho$ ;\varphi )} (види поларен координатен систем и координатни системи ).^[15]

Агол помеѓу две криви

Агол помеѓу две рамнински криви

Нека ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=g(x)}$ се две реални функции од една реална променлива кои се диференцијабилни во точката ${\displaystyle x=c}$. Нека нивните графици се рамнински криви кои имаат пресек во точката ${\displaystyle C=(c,f(c))=(c,g(c))}$. Агол помеѓу кривите во точката ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ е аголот ${\displaystyle \alpha }$ помеѓу соодветните тангенти на кривите во таа точка.^[16]

${\displaystyle \mathrm {tg} (\alpha )={\frac {f'(c)-g'(c)}{1+f'(c)g'(c)}}\,.}$

Агол помеѓу два полупречнички вектора во простор. Т₁=(0,3,2), Т₂=(–3,1,0). Создаден со Геогебра

Агли во простор (просторни агли)

Два неколинеарни полупречник-вектора во тридимензионален простор ${\displaystyle {\vec {u}}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ определуваат рамнина во простор. Нека ${\displaystyle T_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})}$ и ${\displaystyle T_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})}$ се крајните точки на овие полупречник-вектори. Аголот помеѓу ${\displaystyle {\vec {u}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}}$ е аголот ${\displaystyle \alpha =\angle T_{1}OT_{2}}$ (види слика). Ако полупречник-векторите се колинеарни, тогаш аголот помеѓу нив е еднаков на 0°=0.^[15] Важи

${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}|\,|{\vec {v}}|}}\,.}$

Секоја права во простор определува еден правец и на него два колинеарни полупречник-вектора. Следува дека две прави во простор определуваат два правца. Агол помеѓу правите се дефинира како аголот помеѓу соодветните полупречник-вектори определени од правите кој е помал од ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$.

Секоја рамнина определува нормален насочен полупречник-вектор. Аголот помеѓу две рамнини е аголот помеѓу соодветните нормални полупречник-вектори.

Наводи

1. „Angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
2. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 4.
3. „Interior of an angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
4. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 4.
5. „Angles as turns: How can angles be negative?“ (англиски). 2010. Посетено на 1 декември 2013.
6. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 5.
7. „Angles of Inclination vs. Angles of Rotation“ (англиски). MathForum.org. 1999. Посетено на 1 декември 2013.
8. Bogomolny, A. (2010). „What is an angle?“ (англиски). Посетено на 1 декември 2013.
9. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 4.
10. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 5.
11. Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование. Скопје: Алби, 2009, стр. 5.
12. „45 degrees in radians“ (англиски). wolframalpha.com. Посетено на 1 December 2013. interactive
13. „Trignometry:Standard position of an angle“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
14. „Coterminal angles“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
15. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Polar coordinates“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 661. Посетено на 1 септември 2013.
16. „Angle between two curves“ (англиски). sunshinemaths.com. Архивирано од изворникот на 2014-01-20. Посетено на 1 декември 2013.

Поврзани теми

• Агломер, Шестар
• Видови агли
• Триаголник, Квадрат, Правоаголник
• Многуаголник
• Агли на трансверзала
• Тригонометрија
• Аналитичка геометрија
• Златен агол
• Централен агол
• Аголно забрзување
• Аголна брзина

Надворешни врски

• Стојановска, Л. (2010). „Агол“. Архивирано од изворникот на 2013-10-28. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен
• „Копирање на агол со шестар и линијар“. 2010. Архивирано од изворникот на 2018-07-19. Посетено на 1 декември 2013. интерактивен со упаство, видео
• „Trignometry:Initial side of angle“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive }
• „Trignometry:Terminal side of angle“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive }

• Портал: Математика