Планкова константа

Планкова константа (ознака h — физичка константа и го претставува квантот на дејство, значајна во квантната механика.

За Закон за црнотелесно зрачење, видете Планков закон.

Вредности на h	Единици	Нав.
(6,626069934 ± (89))⋅10-34	J⋅s	[1]
(4,135667662 ± (25))⋅10-15	eV⋅s	[2]
2π	EP⋅tP
Вредности на ħ (h-прецртано)	Единици	Нав.
(1,054571800 ± (13))⋅10-34	J⋅s/rad	[2]
(6,582119514 ± (40))⋅10-16	eV⋅s/rad	[2]
1	EP⋅tP/rad
Вредности на hc	Единици	Нав.
1,98644568⋅10-25	J⋅m
1,23984193	eV⋅μm
2π	EP⋅ℓP
Вредности на ħc	Единици	Нав.
3,16152649⋅10-26	J⋅m
0,19732697	eV⋅μm
1	EP⋅ℓP

Плочка на Хумболтовиот универзитет: „Макс Планк, откривачот на основниот квант на дејство h, предаваше во оваа зграда од 1889 до 1928 година.“

Првично откриена во 1900 година од страна на Макс Планк, позната како пропорционална константа меѓу минималното зголемување на енергијата, E, на замислен електрично наелектризиран осцилатор во празнина која содржи зрачење од црно тело, и честотата, f, на спомнатиот електромагнетен бран. Во 1905 година, вредноста E, најмалото енергетско зголемување на замислениот осцилатор, теориски се поврзува со Алберт Ајнштајн со „квант“ или најмал дел на енергија на самиот електромагнетен бран. Светлинскиот квант се однесува на некој начин како електрично неутрална честичка, спротивно на електромагнетниот бран. За подоцна да биде наречена Фотон.

Планк–Ајнштајновиот однос ги поврзува заедно енергијата на фотонот E и честотата на бранот f:

${\displaystyle E=hf}$

Оваа енергија е крајно мала во однос на секојдневните тела.

Бидејќи честотата f, брановата должина λ и брзината на светлината c се сврзани со ${\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}$, изразот може да се запише:

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}.}$

Ова води до друга врска која ја вклучува Планковата константа. Со p се означува линискиот импулс на честичката (не само на фотон, туку и на другите елементарни честички), Бројовата бранова должина λ на честичката е определена со:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}.}$

Во областите каде потребно е да се користат аголни реквенции (т.е. онаму каде честотата е изразена преку радијани во секунда наместо циклус во секунда или херц) и се користи за да се подели со 2π Планковата константа. Добиената константа се нарекува Диракова константа или намалена Планкова константа. Еднаква е на Планковата константа поделена со 2π, и се означува со ħ (изговорно "h-прецртаноо"):

${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}.}$

Енергијата на фотонот со аголна честота ω = 2πf е определена со:

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

додека пак линискиот импулс се оврзува со:

${\displaystyle p=\hbar k,}$

каде k е брановиот број. Во 1923 година, Луј де Број го воопштил Планк-Ајнштајновиот однос давајќи тврдење дека Планковата константа ја претставува пропорционалноста меѓу импулсот и квантната бранова должина не само на фотонот, туку на квантната бранова должна на која било честичка. Ова било потврдено со експерименти подоцна. Ова важи во квантанта механика, како и во електродинамиката.

Овие два односи се временските и просторните делови на специјалниот релативистички израз користејќи 4-вектори.

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$

Класичната статистичка механика побарува да постои h (но не ја определува таа вредност).^[3] Доследно, по откритието на Планк, признато е дека физичкото дејство не може да има каква било вредност. Наместо тоа, мора да е некаков вид на множење на мали количества, „кванти дејство“, познати како Планкова константа. Ова ја претставува т.н. „стара квантна теорија“ развиена од страна на Бор и Зомерфелд, според која патеките на честичките постојат но се скриени, но квантните закони ги ограничуваат врз основа на нивното дејство. Овој поглед е заменет со современата квантна теорија, според која ограничените патеки на движењето не ни постојат, наместо тоа честичката се претставува како бранова функција претставена во времето и просторот. Па нема вредност за дејството како што е дефинирана класично. Надоврзано на ова е концептот а квантизација на енергијата која постоела во старата квантна теорија и постои во изменет облик и во современата квантна теорија. Класичната физика не може да ја објасни ниту квантизацијата на енергијата или пак недостатокот на движењето на класичната честичка.

Во многу случаи, како што е монохроматската светлина или за атомите, квантизацијата на енергијата исто така наведува дека само определени енергетски нивоа се дозволени, а вредностите измеѓу се забранети.^[4]

Вредност

Планковата константа поседува димензии на физичко дејство, т.е. енергија помножена со време, или импулс помножен со растојание, или пак момент на импулс. Во SI единици, Планковата константа се изразува како џул по секунда (J⋅s или N⋅m⋅s или kg⋅m²⋅s⁻¹).

Вредноста на Планковата константа изнесува:^[2]

${\displaystyle h=6.626\ 070\ 040(81)\times 10^{-34}{\text{ J⋅s}}=4.135\ 667\ 662(25)\times 10^{-15}{\text{ eV⋅s}}.}$

Вредноста на Дираковата константа е:

${\displaystyle \hbar ={{h} \over {2\pi }}=1.054\ 571\ 800(13)\times 10^{-34}{\text{ J⋅s}}/{\text{rad}}=6.582\ 119\ 514(40)\times 10^{-16}{\text{ eV⋅s}}/{\text{rad}}.}$

Двете бројки во заградите ја означуваат стандардната неопределеност во последните две бројки. Вредностите кои се изнесени во овој случај се од 2014 CODATA и се усогласени вредности за константите и нивната неопределеност. Резултатите од 2014 CODATA се достапни од јуни 2015 година^[5] и ја претставуваат најдобрата меѓународно признаена вредност за овој вид на константи, засновани на сите податоци објавени до 31 декември 2014 година. Нови податоци од CODATA се добиваат на секои четири години.

Во јули 2017 година, научниците од НИСТ ја измериле Планковата константа користејќи Киблова вага, инструмент со неопределеност од 13 дела од милијарда, добивајќи вредност (6,626069934 ± (89))⋅10^-34J⋅s.^[6]

Значење на вредноста

Планковата константа е поврзана со квантизацијата на светлината и материјата. Може да се смета за субатомска размерна константа. Во системот на единици прилагоден на субатомски размери, пригодни единици се:електронволт за енергија и петахерц за честота. Системот на атомски единици се засновани делумно на Планковата константа.

Бројчената вредност на Планковата константа зависи целосно од системот на единици кој се корсти за мерењето. Кога се изразува во SI единици, е една од единиците, е и една од најмалите константи во физиката. Ова го означува фактот за размер прилагоден на луѓето, каде енергиите се типично со големини од килоџули и времиња со должина од секунди или минути, Планковата константа е многу мала.

Соодветно, малата вредност на Планковата константа се одразува на фактот дека секојдневните тела или системи се направени од голем број на честички. На пример, зелена светлина со бранова должина од 555 нанометри (бранова должина видлива за човековото око) има честота од 540 THz (540⋅10¹² Hz). Секој фотон поседува енергија од E = hf = 3,58⋅10^-19 J. Тоа е многу мала вредност на енергија во поглед на секојдневните искуства, но секојдневните искуства не ги земаат предвид поединечните фотони, ниту пак поединечните атоми и молекули. Количеството на светлина која е во размер слична со секојдневните искуства е присутна во еден мол на фотони; неговата енергија може да се пресмета со множење на енергијата на фотоните со Авогадровата константа, N_A ≈ 6,022⋅10²³ mol⁻¹. Резултатот е зелена светлина со бранова должина од 555 nm поседува енергија од 216 kJ/mol, вообичаено количество на енергија во секојдневниот живот.

Потекло

Црнотелесно зрачење

Главна статија: Планков закон

Јачината на оддадената светлина од црно тело при определена честота. Секоја боја е различна температура. Планк бил првиот кој ги објаснил облиците на овие криви.

Во последните години на XIX век, Планк го истражувал проблемот поврзан со црнотелесно зрачење првпат поставен од страна на Кирхоф пред 40 години. Познато е дека топлите тела сјајат, и дека потоплите тела сјајат посветло од поладните. Електромагнетното поле се покорува на законите за движење како што тоа го прави и тело обесено на пружина, и може да биде во топлотна рамнотежа со жежките атоми. Топлото тело во рамнотежа впива онолку светлина колку и што оддава. Ако телото е црно, значи дека ја впива целата светлина која пристигнува на површината, тогаш оддавањето на топлинската е максимална.

Претпоставката дека зрачењето од црното тело е топлинска доведува до прецизното предвидување: дека целосното количество на оддадена енергија се зголемува со растот на температурата според определено правило, Штефан-Болцмановиот закон (1879–84). Но било и познато дека бојата на светлината оддадена од жешкото тело се менува со температурата, па така „бела“ е потопла од „црвена“. Сепак, Вилхелм Вин го открил математичкото заедништво меѓу врвовите на кривите при различни температури, користејќи го начелото за адијабатски системи. При секоја различна температура, кривата се поместува спооред Виновиот закон за поместувањето (1893). Виен исто така предложил приближност за спектарот на телото, која била вистинита за високи честоти (куси бранови должини), но не и на ниски честоти (долги бранови должини).^[7] Сè уште не било познато зашто спектарот на топлото тело го има обликот којшто го има (Погледајте го дијаграмот).

Планк претпоставил дека равенките за движењето на светлината опишува множество на хармониски осцилатори, по еден за секоја честота. Тој испитал како ентропијата на осцилаторите се менувала со температурата на телото, обидувајќи се да ги изедначи со Виновиот закон, и бил во можност да ја изведе приближната математичка функција за спектарот на црно тело.^[8]

Сепак, Планк наскоро увидел дека неговото решение не било единствено. Постоеле неколку различни решенија, и секое од нив давало разслична вредност за ентропијата на осцилаторите.^[8] За да ја споаси твојата теорија, Планк морал да ја искорити тогаш спорната теорија за статистичка механика,^[8] и тој момент го нарекува „чин на очај … бев спремен да ги жтвувам своите претходни убедувања за физиката.“^[9] Еден од неговите нови гранични услови беше:

да го протолкува U_N [вибрационата енергија на N осцилатори] не како непрекинато, бесконечно деливо количество, но како прекинато количество составено од интегриран број на конечнио еднакви делови. Да го наречеме секој ваков дел енергетски елемент ε;

— Планк, за законот за распределбата на енергиојатѕа во нормалниот спектар^[8]

Со овој нов услов, Планк воспоставил квантизација на енергијата на осцилаторите, „чиста формална претпоставка … за која всушност и не многу размислувам…“ се неговите зборови,^[10] но ќе ја револуционеризираат физиката. Применувајќи го овој нов пристап за Виновиот закон за поместувањето покажал дека „енергетскиотѕ елемент“ мора да е пропорционален на честотата на осцилаторот, првата верзија на запоисот кој денес понекогаш се нарекува „Планк–Ајнштајнов однос“:

${\displaystyle E=hf.}$

Планк Planck бил во можност да ја пресмета вредноста на h од експерименталните податоци за зрачењерто на црно тело: неговиот резултат, 6,55⋅10^-34 J.s, отстапува за 1,2% од моменталната прифатена вредност.^[8] Тој исто така бил во можност да го направи првото определување на Болцмановата конбстанта k_B од истите податоци и теорија.^[11]

Забележете дека (црната) Рејли–Џинсова крива никогаш не ја допира Планковата крива.

Пред Планк, се претпоставувало дека енергијата на црното тело може да ја има која било вредност – станува збор за непрекината променлива. Рејли-Џинсовиот закон обезбедува предвидувања за тесен опсег на вредности на една граница од температури, но резултатите значително се разидуваат како што сењ зголемуваат температурите. За да се добие Планковиот закон, кој точно ги предвидува зрачењатра на црното тело, било потребно да се множи класичниот израз со сложен фактор кој ја вклучува и h во броителот и делителот. Влијанието на h во овој сложен фактор нема да исчезне ако се доведе до нула или било која друга вредност. Добивањето на равенката за Рејли-џинсовиот закон од Планковиот закон не може да се добие со промената на вредностите на h, на Болцмановата константа, или пак на која било друга константа или променлива во равенката. Во овој случај погледот добиен од класичната физика не се дуплира во резултатите во квантниот поглед.

Проблемот со црното тело бил повторно разгледуван во 1905 година, кога Рејли и Џинс (од една страна) и Ајнштајн (од друга страна) независно покажале дека класичниот електромагнетизам никогаш нема да го земе предвид набљудуваниот спектар. Овие докази се општо познати како „ултравиолетова катастрофа“, име осмислено од страна на Паул Еренфест во 1911 година. Тие придонеле значајно (заедно со Ајнштајновата работа за фотоелектричниот ефект) во убедувањето на физичарите дека Планковиот постулат за квантифицирани енергетски нивоа е повеќе од самои обичен математички формализам. Првата Солвејска конференција во 1911 година била посветена на „теоријата на зрачење и квантите“.^[12] Мак Планк во 1918 година ја добил Нобеловата награда за физика „за заслугите кои овозможиле напредок на физиката со откривањето на енергетските кванти“.

Фотоелектричен ефект

Главна статија: Фотоелектричен ефект

Фотоелктричниот ефект е оддавањето на електрони (наречени „фотоелектрони“) од површината на металите кога светлината ќе упадне на нив. Првично набљудуван како појава од страна на Едмон Бекерел во 1839 гопдина, но заслугата му се доделува на Хајнрих Херц,^[13] кој го објавил првиот целосен труд од истражувањата во 1887 година. Друго особено важно и темелито истражување било објавено од Филип Ленард во 1902 година.^[14] Einstein's 1905 paper^[15] го разгледува дејството преку светлинските кванти, за што ќе ја добие и Нобеловата награда за физика во 1921 година,^[13] кога неговите пшредвцидувања биле потврдерни експериментално од страна на Роберт Миликан.^[16] Комитетот за Нобеловата награда му ја доделила наградата за неговата работа на фотоелектричниот ефект, а не за релативноста, поради нивната пристрасност за теории кои се експериментално докажани, а не се само теориски засновани, односно членовите на комисијата смнетале дека не постоеле вистински докази дека теоријата за релативноста е вистинита.^[17][18]

Пред Ајнштајновиот труд, електромагнетното зрачење како што е на пример видливата светлина, се сметало дека се однесува како бран: па оттука е и употребата на поимите како „честота“ и „бранова должина“ за различните видови на зрачење. Енергијата пренесена од бран во определен временски период се нарекува јачина. Светлината од театарските рефлењктори е со поголема јачина од онаа на обичната светилка, сом други зборови може да се каже дека рефлекторот оддава повеќе енергија во единица време и во единица простор (а со тоа и троши повеќе електрична струја) одо обичната светилка, иако бојата на светлината може да биде скоро подеднаква. Другите бранови, кјако што се звучните бранови или морските бранови, имаат исто така сопствена јачина. Сепак, пресметките за енергијата кај фотоелектричниот ефект не биле во согласност со описот за брановата природа на светлината.

„Фотоелектроните“ оддадени како резултат на фотоелектричниот ефект поседуваат определена кинетичка енергија, која може да биде измерена. Оваа кинетичка енергија (за секој фотоелектрон) е независна од јачината на светлината,^[14] нмо зависи линиски од честотата,^[16] и доколку честотата е многу ниска (соодвествува на фотонска енергија која е помала од излезната работа на материјалот), не се оддаваат фотоелектрони, доколку не постои множество на фотони, чиј енергетски збир е поголем од енергијата на фотоелектроните, и дејствува скоро едновремено (повеќефотонски ефект).^[19] Ако се претпостави дека честотата е доволно голема за да предизвика фотоелектричен ефект, ќе се забележи зголемување на јачината на светлинскиот извор, што пак ќе предизвика повеќе фотоелектрони да бидат оддадени со истата кинетичка енергија, наместо да се оддадат ист број на фотоелектрони со поголема кинетичка енергија.^[14]

Ајнштајновото објаснување за овиењ набљудувања било дека светлината самата е квантифицирана, енергијата на светлината не се пренесува непрекинато како класичен бран, туклу во мали „пакети“ или кванти. Големината на овие „пакети“ енергија, кои подоцна ќе бидат наречени фотони, требала да биде иста со Планковиот „енергетски елемент“, со што се добива современиот израз на Планк-Ајнштајновиот запис:

${\displaystyle E=hf.}$

Ајнштајновите претпоставки подоцна биле докажани и експериментално, константата на пропорционалноста меѓу честотата и упадната светлина (f) и кинетиучката енергија на фотоелектроните (E) се покажало дека се еднакви на Планковата константа (h).^[16]

Атомска структура

Главна статија: Боров модел

Шематски приказ на Боровиот модел за водородниот атом. Преминот прикажан од нивото n = 3 до нивото n = 2 обезбедува создавање на видлива светлина со брановоа должина од 656 nm (црвена), како што предвидува моделот.

Нилс Бор го вовел првиот квантифициран модел на атомот во 1913 година, во обид да го надмине проблемот на Радерфордовиот класичен модел.^[20] Во класичната електродинамика, полнеж кој се движи во круг треба да оддава електромагнетно зрачење. Ако тој полнеж е електрон кој е во орбита околу јадрото, зрачењето би требало да предизвика електронот да ја изгуби енергијата и да се уруши на јадрото. Бор го разрешил овој парадокс со изречито надоврзување на Планковата работа: електрон во Боровиот атом може да поседува само определени количества на енергија E_n

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {hc_{0}R_{\infty }}{n^{2}}},}$

каде c₀ е брзината на светлионата во вакуум, R_∞ е експериментално определената константа (Ридбергова константа) каде n е било кој природен број (n = 1, 2, 3, …). Откако електронот ќе ја достигне најниското енергетско ниво (n = 1), не може да се приближи поблиску до јадрото (пониска енергија). Овој пристап му овозможил на Бор да се надоврзе на Ридберговата равенка, емпириски запис на атомскиот спектар на водородот, и се надоврзува на вредноста на Ридберговата константа R_∞ во однос на другите основни константи.

Бор исто така го вовел и количеството ${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}$, денес познато како Диракова константа, односно квантот на аголниот момент. Првично, Бор сметал дека станува збор за аголниот момент на секој од електроните во атомот: ова се покажало како неточно, и поклрај напорите на Зомерфелд и другите, прецизен опис на аголниот момент на електронот бил недостижен за Боровиот модел на атомот. Точните квантификациоини правила за електроните – во кои енбергијата се сведува на Боровата равенка за моделот на атомот, во случајот на водородниот атом – се определени соп Хајзенбереговата матрична механика во 1925 година и Шредингеровата равенка во 1926 година: Дираковата константа е основата на квантите на аголниот момент. Современо кажано, ако J е вкупниот аголен момкент на системот со вртежна инваријантност, и J_z аголниот момент мерен во која било насока, овие величини можат да ги имаат само следниве вредности

${\displaystyle {\begin{aligned}J^{2}=j(j+1)\hbar ^{2},\qquad &j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots ,\\J_{z}=m\hbar ,\qquad \qquad \quad &m=-j,-j+1,\ldots ,j.\end{aligned}}}$

Начело на неопределеност

Главна статија: Начело на неопределеност

Планковата константа се сретнува и во трудовите на Вернер Хајзенберг за начелото на неопределеност. Ако имаме голем број на честички подготвени да бидат во истата состојба, неопределеноста на нивната положба, Δx, и неопределеноста на нивниот импулс (истата насока), Δp, се покоруваат на:

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$

каде неопределеноста е дадена со стандардното отстапување на измерената вредност од очекуваната вредност. Постојат бројни други такви парови на физички мерливи вредности кои се покоруваат на слично правило. Еден пример е времето наспроти енергијата. Едното или пак природата на мерењето на неопределените сили и да се одбере меѓу двете можности, и земајќи предвид дека станува збор за кванти, можностите можат да бидат во облик на едното или (како кај Фуриеовата анализа), наместо да се правинагодување и сивите области на анализата на временски редови.

Додавањето на некои претпоставки со кои се определува толкувањето на одредени вредности во квантно-механичкиот запис, еден од основните темели на целата теорија се наоѓа во комутаторската врска меѓу положбениот оператор ${\displaystyle {\hat {x}}}$ и импулсниот оператор ${\displaystyle {\hat {p}}}$:

${\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=-i\hbar \delta _{ij},}$

каде δ_ij е Кронекеровата делта.

Зависни физички константи

Постојат неколку константи, за кои повеќе од 99% од неопрделеноста според вредностите од 2014 CODATA^[21] е поради неопределеноста на вредноста на Планковата константа, како што е назначено според квадратот од корелациониот коефициент (r² > 0,99, r > 0,995). Планковата Константа е (со еден или два исклучоци)^[22] основна физичка константа која е позната по најниското ниво на прецизност, со 1σ релативна неопределеност u_r од 1,2⋅10^-8.

Маса на мирување на електронот

Изведувањето на Ридберговата константа според учебниците е дека R_∞ е определена според масата на електроно m_e и други физички константи:

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\rm {e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c_{0}}}={\frac {m_{\rm {e}}c_{0}\alpha ^{2}}{2h}}.}$

Сепак, Ридберговата константа може многу прецизно да се определи (u_r = 5,9⋅10^-12) од атомскиот спектар на водородот, каде нема директен метод за мерење на масата на неподвижните електрони во SI единици. Па така равенката за пресметување на m_e станува:

${\displaystyle m_{\rm {e}}={\frac {2R_{\infty }h}{c_{0}\alpha ^{2}}},}$

каде c₀ е брзината на светлината α е константата на фината структура. Брзината на светлината има точно определена вредност во SI единици, а константата на фината структура може да се определи пррецизно (u_r = 2,3⋅10^-10) за разлика од Планковата константа. Следствено, неопределеноста на вредноста на масата при мирување на електронот е поради неопределеноста на вредноста на Планковата константа (r² > 0.999).

Авогадрова константа

Главна статија: Авогадрова константа

Авогадровата константа N_A е определена како односот од масата на еден мол од електрони од масата на еден електрон, масата на еден мол на електрони е „релативната атомска маса“ на електронот A_r(e), која може да биде измерена во Пенингова замка (u_r = 2,9⋅10^-11), помножена со константата на моларната маса M_u, која е дефинирана како 0,001 кг/mol.

${\displaystyle N_{\rm {A}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{m_{\rm {e}}}}={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})c_{0}\alpha ^{2}}{2R_{\infty }h}}.}$

Зависноста на Авогадровата константа од Планковата константа (r² > 0.999), исто така важи и за физичките константи кои се поврзани со количеството супстанца, како што е константата на атомската маса. Неопределеноста на вредноста на Планковата константа го ограничува знаењето за масите на атомите и субатомските честички копга се изразува во SI единици. Постои начин попрецизно да се определат масите како единици на атомски маси, но не можат прецизно да се претворат во килограми.

Елементарен полнеж

Главна статија: Елементарен полнеж

Зомерфелд првично ја определил константата на фината структура α како:

${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {e^{2}}{\hbar c_{0}\ 4\pi \varepsilon _{0}}}\ =\ {\frac {e^{2}c_{0}\mu _{0}}{2h}},}$

каде e е елементарниот полнеж, ε₀ е диелектричната константа (која се нарекува и пермитивност на просторот), и μ₀ е магнетната константа (наречена и магнетна пермеабилност на просторот). Двете последни константи имаат рочно определени вредности во меѓународниот ситем на единици. Сепак, α може да се определи и експериментално, особено со мерење на електронскиот спински g-фактор g_e, за подоцна резултатот да се спореди со вреднота предвидена од страна на квантната електродинамика.

Денес, најпрецизната вредносст за елемнтарниот полнеж е добиена со прередување на дефиницијата за α за да се добие следната дефиниција за e преку α и h:

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2\alpha h}{\mu _{0}c_{0}}}}={\sqrt {2\alpha h\varepsilon _{0}c_{0}}}.}$

Боров магнетон и јадрен магнетон

Главни статии: Боров магнетон и Јадрен магнетон

Боровиот магнетони јадрениот магнетон се единици кои се користат за да се опишат магнетните својства на електронот и атомското јадро. Боровиот магнетон е магнетниот момент кој може да се очекува за електрон ако тој се однесува како вртежен полнеж според класичната електродинамика. Тој е дефиниран преку Дираковата константа, елементарниот полнеж и масата на електронот, при што сите зависат од Планковата константа: конечната зависност h^1/2 (r² > 0.995) може да се определи со проширување на променливите.

${\displaystyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2m_{\rm {e}}}}={\sqrt {\frac {c_{0}\alpha ^{5}h}{32\pi ^{2}\mu _{0}R_{\infty }^{2}}}}}$

Јадрениот магнетон има слична дефиниција, но со исправка нпоради фактот што протонот има значително поголема маса од електронот. Односот на масата на електронот со онаа на протонот, експериментално може да се определи со голема прецизност (u_r = 9,5⋅10^-11).

${\displaystyle \mu _{\rm {N}}=\mu _{\rm {B}}{\frac {A_{\rm {r}}({\rm {e}})}{A_{\rm {r}}({\rm {p}})}}}$

Определување

Метод	Вредност на h (10-34 J.s)	Релативна неопределеност	наводи
Киблова вага	6,62607041 ± (38)	3,4⋅10-8	[23][24][25]
Рендгенска кристална густина	6,6260745 ± (19)	2,9⋅10-7	[26]
Џозефсонова константа	6,6260678 ± (27)	4,1⋅10-7	[27][28]
Магнетна резонанса	6,6260724 ± (57)	8,6⋅10-7	[29][30]
Фарадеева константа	6,6260657 ± (88)	1.3×10−6	[31]
CODATA 2017	6,626070133 ± (60)	4.4×10−8	[32]
Киблова вага со суперспроводен магнет (препорачано)	6,62606979 ± (30)	45×10−9	[1]
Овие 9 неодамнешни определувања на Планковата константа опфаќаат пет поединечни методи. Каде што имаме повеќе од едно неодамнешно определување на вредноста со определен метод, вредноста на h е средната вредност од тие резултати, пресметана според CODATA.

Во принцип, Планковата константа може да се определи со испуитување на спектарот на зрачењето од црното тело или пак од кинетичката енергија на фотоелектроните, и на следниов начин била првично пресметана на почетокот на XX век. Во пракса, овие не се веќе најпрецизните методи. Вредноста овде од CODATA цитирани во текстот се засновани на три мерења со Киблова вага на K_J²R_K и едно меѓулабораториско определување на моларната зафатнина на силициумот,^[33] но е најчесто определена со мерењето со употреба на Киблова вага од 2007 година извршено во американскиот Национален институт за стандарди и технологија (НИСТ).^[25] Пед други мерерња според три различни мерни методи првично се разгледувани но не биле вклучени во конечните исправки бидејќи биле многу непрецизни за да влијаат на резултатот.

Постојата теориски и практични потешкотии заа определување на h. Практичните потешкотии можат да бидат прикажани од фактот штом двата најпрецизни методи, Кибловата вага и рендгенскиот кристало-густински метод, не даваат реазултати кои се слични еден со друг. Најчестата причина е дека неопределеноста на мерењето за еден (или двата) методи се сметаат за мали – како да еден (или пак двата) не се доволно прецизни како што се верува – но досега нема доказ за тоа копј метод греши.

Теориските потешкотии се покренати од фактот дека сите овие методи со исклучок на рендгенскиот кристало-густински метод се засновани на теориската основа на Џозефсоновиот ефект и квнатниот Холов ефект. Ако овие теории се и најмалку непрецизни – иако сè уште нема такви докази – методите нема да дадат прецизни вредности за Планковата константа. Поважно, вредностите на Планковата константа добиени на овој начин не можат да се искористат за тестирање на овие теории без да се западне во бескрајна расправија. За среќа, постојат други статистички начини за тестирање на теориит, и потребно е прво да се отфрлат претходните теории.^[33]

Џозефсонова константа

Главна статија: Квант на магнетниот флукс

Џозефсоната константа K_J се заснова на потенцијалната разлика U создадена од Џозефсоновиот ефект кај „Џозефсоновата спојка“ со честота f на микробрановото зрачење. Теориското разгледување на Џозефсоновиот ефект наведува силно дека K_J = 2e/h.

${\displaystyle K_{\rm {J}}={\frac {f}{U}}={\frac {2e}{h}}\,}$

Џозефсоновата константа може да се измери со споредба на потенцијалната разлика создадена од низа на Џозефсоновите спојки со потенцијална разлика која е позната во SI системот под името волти. Мерењето на потенцијалнта разлика во SI единици се изведува со тоа што електростатичката сила ќе ја поништи мерливата гравитациска сила. Земајќи предвид дека точноста на теориското разгледување на Џозефсоновиот ефект, K_J е поврзан со Планковата константа е:

${\displaystyle h={\frac {8\alpha }{\mu _{0}c_{0}K_{\rm {J}}^{2}}}.}$

Киблова вага

Главна статија: Киблова вага

Кибловата вага е инструмент за споредување на две моќи, од едната се мери во SI единици вати а другата се изразува во конвенционална електрична единица. Според дефиницијата за конвенционален ват W₉₀, се добива вредност за производот K_J²R_K во SI единици, каде R_K е фон Клитцинговата константа која е карактеристична за квантниот Халов ефект. Ако теориските погледи на Џозефсоновиот ефект и квантниот Халов ефект се вистинити, и ако се претпостави дека R_K = h/e², мерењето на K_J²R_K се користатат за направо определување на вредноста на Планковата константа.

${\displaystyle h={\frac {4}{K_{\rm {J}}^{2}R_{\rm {K}}}}.}$

Магнетна резонанса

Главна статија: Жиромагнетен однос

Жиромагнетниот однос γ е константата на пропорционалноста меѓу фрерквенцијата f на јадрената магнетна резонанса (или електронската парамагнетна резонанса за електроните) и применетото магнетно поле B: f = γB. Тешко е прецизно да се измерат жиромагнетните односи поради потешкотиите во прецизното мерење на B, но вреедноста за протоните во водата на 25 °C е позната до прецизност од еден дел во милион. За протоните се вели дека се „заштитени“ од применетото магнетно поле од страна на електроните во молекулите на водата, истиот ефект кој доведува до хемиска промена во НМР спектроскопија, и ова може да се покаже со цел број на ознаката за жиромагнетниот однос, γ′_p. Жиромагнетниот однос е поврзан со магнетниот момент на заштитениот протон μ′_p, спинскиот број I (I =  ¹⁄₂ за протоните) и Дираковата константа.

${\displaystyle \gamma _{\rm {p}}^{\prime }={\frac {\mu _{\rm {p}}^{\prime }}{I\hbar }}={\frac {2\mu _{\rm {p}}^{\prime }}{\hbar }}}$

Односот на магнетниот момент на заштитениот протон μ′_p со елкектронскиот магнетен момент μ_e можат посебно да се измерат со голема прецизност, додека пак непрецизната вреднопст за применетото магнетно поле се отстранува при пресметувањето на односот. Вредноста на μ_e кај Боровите магнетони е исто така позната: таа е половина од електронскиот g-фактор g_e. Па следи:

${\displaystyle \mu _{\rm {p}}^{\prime }={\frac {\mu _{\rm {p}}^{\prime }}{\mu _{\rm {e}}}}{\frac {g_{\rm {e}}\mu _{\rm {B}}}{2}}}$

${\displaystyle \gamma _{\rm {p}}^{\prime }={\frac {\mu _{\rm {p}}^{\prime }}{\mu _{\rm {e}}}}{\frac {g_{\rm {e}}\mu _{\rm {B}}}{\hbar }}.}$

Дополнително отежнување е мерењето на γ′_p кое побарува мерење на електричната струја: таа се непроменливо мери во конвенционални ам,пери наместо во SI ампери, па потребенно е да се воведе фактор на претворање. Ознаката Γ′_p-90 се користи за измерениот жиромагнетен однос користејќи конвенционални електрични единици. Во дополнение, постојат два методи за мерење на вредноста, „нискополевиот“ и „високополевиот“ метод, и соодветните фактори на претворање се различни во двата случаи. Само високополевата вредност Γ′_p-90(hi) е од интерес за определување на Планковата константа.

${\displaystyle \gamma _{\rm {p}}^{\prime }={\frac {K_{\rm {J-90}}R_{\rm {K-90}}}{K_{\rm {J}}R_{\rm {K}}}}\Gamma _{\rm {p-90}}^{\prime }({\rm {hi}})={\frac {K_{\rm {J-90}}R_{\rm {K-90}}e}{2}}\Gamma _{\rm {p-90}}^{\prime }({\rm {hi}})}$

Замената ни го дава изразот за Планковата константа преку Γ′_p-90(hi):

${\displaystyle h={\frac {c_{0}\alpha ^{2}g_{\rm {e}}}{2K_{\rm {J-90}}R_{\rm {K-90}}R_{\infty }\Gamma _{\rm {p-90}}^{\prime }({\rm {hi}})}}{\frac {\mu _{\rm {p}}^{\prime }}{\mu _{\rm {e}}}}.}$

Фарадеева константа

Главна статија: Фарадеева константа

Фарадеевата константа F е полнежот на еден мол електрони, еднаков на Авогадровата константа N_A помножена со елементарниот полнеж e. Може да се определи со внимателни експерименти на електролиза, мерејќи го односот на сребро разложен на електродата во определен временски период и за дадена електрична струја. Во практиката, се мери во конвенционални електрични единици, па дадениот симбол F₉₀. Заменувајќи ги дефинициите за N_A и e, и претворањето на конвенционалните електрични единици во SI единици, па се добива записот за Планковата константа.

${\displaystyle h={\frac {c_{0}M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})\alpha ^{2}}{R_{\infty }}}{\frac {1}{K_{\rm {J-90}}R_{\rm {K-90}}F_{90}}}}$

Рендгенска кристална густина

Методот на рендгенска кристална густина за определување на Авогадровата константа N_A, но како што Авогадровата константа е поврзана со Планковата константа, исто така ја определува вредноста на h. Принципот зад овој метод е да се определи N_A како однос меѓу зафатнината на ќелијата на кристѕалот, измерена со рендгенска кристалографија, и моларната зафатнина на супстанцијата. Се користат кристали на силициум, бидејќи истите се достапни воп големи количини и чистота од технологиите кои се користат во полупроводничката индустрија. Зафатнината на единечна ќелија се пресметува од просторот меѓу двете кристални рамнини кои се означени како d₂₂₀. Моларната зафатнина V_m(Si) побарува определување на густината на кристалот и атомската тежина на употребениот силициум. Планковата константа е определен со:

${\displaystyle h={\frac {M_{\rm {u}}A_{\rm {r}}({\rm {e}})c_{0}\alpha ^{2}}{R_{\infty }}}{\frac {{\sqrt {2}}d_{220}^{3}}{V_{\rm {m}}({\rm {Si}})}}.}$

Забрзувачи на честички

Експерименталните мерења на Планковата константа во лабораториите на Големиот хадронски судирач направени во 2011 година. Истражувањето на ПЦЦ користејќи голем забрзувач на честички помогна во подоброто разбирање на врската меѓу Планковата константа и мерењето на растојанијата во просторот.

Неменливост

Главни статии: Предложени редефинирања на основните SI единици и Килограм § предложени иодни дефиниции

Како што беше спомнато погоре, бројната вредност на Планковата константа зависи од системот кој се користи за нејзино опишување. Нејзината вредност во SI е позната до 12 делови од милијарда но нејзината вредност во атомски единици е точно определена, поради начинот на кои се дефинирани атомските единици. Истото важи иза конвенционалните електричнио единици, каде Планковата константа (означена со h₉₀ за да се зарликува од вредноста во SI единици) е определена со:

${\displaystyle h_{90}={\frac {4}{K_{J-90}^{2}R_{K-90}}}}$

каде K_J–90 и R_K–90 се точно определени константи. Атомските единици и конвенционалните електрични единици се доста корисни во нивните соодветни области, бидејќи неопределеноста во крајниот резултат не зависи од неопределеноста на претворањето на единиците, туку само од неопределеноста на самото мерење.

Моментално се разгледува можноста да се редефинираат некои од основните SI-единици преку основните физички константи.^[34] Ова веќе е сторено со метарот, кој од 1983 година е дефиниран со определена вредност преку брзината на светлината. Најитната единица за редефинирање на списокот е килограм, чија вредност е определена за целата наука (од 1889 година) со масата на мал цилиндар легура на платина–иридиум и се чува во сеф недалеку од Париз.Иако никој не знае дали масата на меѓународниот примерок за килограм се изменил од 1889 година – вредноста од 1 кг од масата изразена во килограми не се променила и тука е еден од проблемите – познато е дека во еден толку долг период многу од сличните цилиндри изработени од легури изработени од Pt–Ir кои се чуваат во националните лаборатории низ светот, ги промениле нивните ррелативни маси за неколку десетина делови од милион, колку и внимателно да се чуваат, и колку поивеќе се користат за масени сстандарди толку се зголемува и нината непрецизност. Промената од неколку мдесетина микрограми во еден килограм е еднаква на моменталната неопределеност во вредноста на Планковата константа во SI единици.

Правниот процес со кој би се променила дефиницијата на метод заснована на точно определената вредност на Планковата константа е започнат.^[35] 24-та и 25-та средба на Генералната конференција за тегови и мерки (ГКТМ) во 2011 и 2014 година го одобриле редефинирањето со употреба на константи но не биле задоволни од неопределеноста на Планковата константа. Границите кои биле утврдени се постигнати во 2016 година,^[34] и се очекува редефинирањето да се случи на 16 ноември 2018, за време на 26-та ГКТМ.^[36]

Кибловта вага ја мери вредноста на масата во Планкова константа: моментално, стандардните примероци на килограми се земаат за непроменливи маси и мерењето е извршено за да се определи Планковата константа, но во моментот кога Планковата константа ќе се определи непроменливо во SI единици, истиот експеримент ќе се искористи и за определување на масата. Релативната неиопределеност во мерењата ќе остане иста.

Стандардите за маса можно е да се добијат од кристалите на силициум или пак други методи со кои се бројат атомите. Овие методи побаруваат познавање на Авогадровата константа, која е точно определена како односот меѓу атомската маса и макроскопската маса, но со определената нвредност на Планковата константа, N_A ќе биде определена до исто ниво на неопределеност (ако не и поточно) од моменталните методи за споредба на макроскопската маса.

Поврзано

• Вовед во квантната механика
• Планкови единици
• Корпускуларно-бранов дуализам
• CODATA 2018

Белешки

1. Schlamminger, S.; Haddad, D.; Seifert, F.; Chao, L. S.; Newell, D. B.; Liu, R.; Steiner, R. L.; Pratt, J. R. (2014). „Determination of the Planck constant using a watt balance with a superconducting magnet system at the National Institute of Standards and Technology“. Metrologia (англиски). 51 (2): S15. doi:10.1088/0026-1394/51/2/S15. ISSN 0026-1394.
2. Barry N. Taylor of the Data Center in close collaboration with Peter J. Mohr of the Physical Measurement Laboratory's Atomic Physics Division, Termed the "2014 CODATA recommended values," they are generally recognized worldwide for use in all fields of science and technology. The values became available on 25 June 2015 and replaced the 2010 CODATA set. They are based on all of the data available through 31 December 2014. Available: http://physics.nist.gov
3. Giuseppe Morandi; F. Napoli; E. Ercolessi (2001), Statistical mechanics: an intermediate course, стр. 84, ISBN 978-981-02-4477-4
4. Einstein, Albert (2003), „Physics and Reality“ (PDF), Daedalus, 132 (4): 24, doi:10.1162/001152603771338742, Архивирано од изворникот (PDF) на 2012-04-15, Посетено на 2017-07-24, The question is first: How can one assign a discrete succession of energy value H_σ to a system specified in the sense of classical mechanics (the energy function is a given function of the coordinates q_r and the corresponding momenta p_r)? The Planck constant h relates the frequency H_σ/h to the energy values H_σ. It is therefore sufficient to give to the system a succession of discrete frequency values.
5. „CODATA recommended values“.
6. „New Measurement Will Help Redefine International Unit of Mass“. National Institute of Standards and Technology. 30 June 2017. Посетено на 11 July 2017.
7. R. Bowley; M. Sánchez (1999), Introductory Statistical Mechanics (2. изд.), Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-850576-0
8. Planck, Max (1901), „Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum“ (PDF), Annalen der Physik, 309 (3): 553–63, Bibcode:1901AnP...309..553P, doi:10.1002/andp.19013090310. English translation: "On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum Архивирано на 6 јануари 2008 г.". Архивирано на 22 февруари 2015 г.
9. Kragh, Helge (1 December 2000), Max Planck: the reluctant revolutionary, PhysicsWorld.com, Архивирано од изворникот на 2012-04-01, Посетено на 2017-11-30
10. Kragh, Helge (1999), Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century, Princeton University Press, стр. 62, ISBN 0-691-09552-3
11. Planck, Max (2 June 1920), The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)
12. Previous Solvay Conferences on Physics, International Solvay Institutes, Архивирано од изворникот на 2008-12-16, Посетено на 12 December 2008
13. See, e.g., Arrhenius, Svante (10 December 1922), Presentation speech of the 1921 Nobel Prize for Physics
14. Lenard, P. (1902), „Ueber die lichtelektrische Wirkung“, Annalen der Physik, 313 (5): 149–98, Bibcode:1902AnP...313..149L, doi:10.1002/andp.19023130510
15. Einstein, Albert (1905), „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt“ (PDF), Annalen der Physik, 17 (6): 132–48, Bibcode:1905AnP...322..132E, doi:10.1002/andp.19053220607
16. Millikan, R. A. (1916), „A Direct Photoelectric Determination of Planck's h“, Physical Review, 7 (3): 355–88, Bibcode:1916PhRv....7..355M, doi:10.1103/PhysRev.7.355
17. Isaacson, Walter (2007-04-10), Einstein: His Life and Universe, ISBN 1-4165-3932-8, pp. 309–314.
18. „The Nobel Prize in Physics 1921“. Nobelprize.org. Посетено на 2014-04-23.
19. Smith, Richard (1962), „Two Photon Photoelectric Effect“, Physical Review, 128 (5): 2225, Bibcode:1962PhRv..128.2225S, doi:10.1103/PhysRev.128.2225.Smith, Richard (1963), „Two-Photon Photoelectric Effect“, Physical Review, 130 (6): 2599, Bibcode:1963PhRv..130.2599S, doi:10.1103/PhysRev.130.2599.4.
20. Bohr, Niels (1913), „On the Constitution of Atoms and Molecules“, Philosophical Magazine, Ser. 6, 26 (153): 1–25, doi:10.1080/14786441308634993
21. Mohr, Peter J.; Newell, David B.; Taylor, Barry N. (2016). „CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2014“. Reviews of Modern Physics. 88 (3). arXiv:1507.07956. Bibcode:2016RvMP...88c5009M. doi:10.1103/RevModPhys.88.035009. Pre-print doi:10.5281/zenodo.22826.
22. Исклучоците се гравитациската константа G (u_r = 4,7⋅10^-5) и гасната константа R (u_r = 5,7⋅10^-7). Неопределеноста на вредноста на гасната константа исто така влијае на константите кои се поврзани со таа константа, како што се Болцмановата константа и Лошмитовата константа.
23. Kibble, B P; Robinson, I A; Belliss, J H (1990), „A Realization of the SI Watt by the NPL Moving-coil Balance“, Metrologia, 27 (4): 173–92, Bibcode:1990Metro..27..173K, doi:10.1088/0026-1394/27/4/002
24. Steiner, R.; Newell, D.; Williams, E. (2005), „Details of the 1998 Watt Balance Experiment Determining the Planck Constant“ (PDF), Journal of Research, National Institute of Standards and Technology, 110 (1): 1–26, Архивирано од изворникот (PDF) на 2011-10-18, Посетено на 2018-01-13
25. Steiner, Richard L.; Williams, Edwin R.; Liu, Ruimin; Newell, David B. (2007), „Uncertainty Improvements of the NIST Electronic Kilogram“, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 56 (2): 592–96, doi:10.1109/TIM.2007.890590
26. Fujii, K.; Waseda, A.; Kuramoto, N.; Mizushima, S.; Becker, P.; Bettin, H.; Nicolaus, A.; Kuetgens, U.; Valkiers, S.; Taylor, P.; Debievre, P.; Mana, G.; Massa, E.; Matyi, R.; Kessler, E.G.; Hanke, M. (2005), „Present state of the Avogadro constant determination from silicon crystals with natural isotopic compositions“, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 54 (2): 854–59, doi:10.1109/TIM.2004.843101
27. Sienknecht, Volkmar; Funck, Torsten (1985), „Determination of the SI Volt at the PTB“, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 34 (2): 195–98, doi:10.1109/TIM.1985.4315300. Sienknecht, V.; Funck, T. (1986), „Realization of the SI Unit Volt by Means of a Voltage Balance“, Metrologia, 22 (3): 209–12, Bibcode:1986Metro..22..209S, doi:10.1088/0026-1394/22/3/018. Funck, T.; Sienknecht, V. (1991), „Determination of the volt with the improved PTB voltage balance“, IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 40 (2): 158–61, doi:10.1109/TIM.1990.1032905
28. Clothier, W. K.; Sloggett, G. J.; Bairnsfather, H.; Currey, M. F.; Benjamin, D. J. (1989), „A Determination of the Volt“, Metrologia, 26 (1): 9–46, Bibcode:1989Metro..26....9C, doi:10.1088/0026-1394/26/1/003
29. Kibble, B P; Hunt, G J (1979), „A Measurement of the Gyromagnetic Ratio of the Proton in a Strong Magnetic Field“, Metrologia, 15 (1): 5–30, Bibcode:1979Metro..15....5K, doi:10.1088/0026-1394/15/1/002
30. Liu Ruimin; Liu Hengji; Jin Tiruo; Lu Zhirong; Du Xianhe; Xue Shouqing; Kong Jingwen; Yu Baijiang; Zhou Xianan; Liu Tiebin; Zhang Wei (1995), „A Recent Determination for the SI Values of γ′_p and 2e/h at NIM“, Acta Metrologica Sinica, 16 (3): 161–68, Архивирано од изворникот на 2021-02-08, Посетено на 2018-01-13
31. Bower, V. E.; Davis, R. S. (1980), „The Electrochemical Equivalent of Pure Silver: A Value of the Faraday Constant“, Journal of Research, National Bureau Standards, 85 (3): 175–91, doi:10.6028/jres.085.009
32. P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell (2011), "The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants" (Web Version 6.0). This database was developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. Available: http://physics.nist.gov [Thursday, 02-Jun-2011 21:00:12 EDT]. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899.
33. Mohr, Peter J.; Barry N., Taylor; David B., Newell (2008). „CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006“ (PDF). Rev. Mod. Phys. 80: 633–730. Bibcode:2008RvMP...80..633M. doi:10.1103/RevModPhys.80.633. Непосредна врска до вредноста.
34. NIST (22 ноември 2016). "Universe’s Constants Now Known with Sufficient Certainty to Completely Redefine the International System of Units". Соопштение за печат.  посет. 31 декември 2016 г
35. 94-от состанок на Меѓународното биро за тегови и мерки (2005 година). Recommendation 1: Preparative steps towards new definitions of the kilogram, the ampere, the kelvin and the mole in terms of fundamental constants
36. Milton, Martin (14 November 2016). Highlights in the work of the BIPM in 2016 (PDF). SIM XXII General Assembly. Montevideo, Uruguay. стр. 10. Архивирано од изворникот (PDF) на 2017-09-01. Посетено на 2018-01-15. Конференцијата се одржува од 13–16 ноември, редефинирањето е на дневен ред за разгледување во утрото на последниот ден на конференцијата.

Наводи

• Barrow, John D. (2002), The Constants of Nature; From Alpha to Omega – The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe, Pantheon Books, ISBN 0-375-42221-8

Надворешни врски

• Quantum of Action and Quantum of Spin – Numericana
• Moriarty, Philip; Laurence Eaves; Merrifield, Michael (2009). „h Planck's Constant“. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.