Perimetrs

Perimetrs (grieķu: περίμετρον, perímetron — ‘apkārtmērs’) ir slēgtas plaknes figūras apkārtmērs. Šo terminu var izmantot vai nu ceļa, vai tās garuma aprakstīšanai — to var uzskatīt par figūras kontūras garumu. Perimetru riņķim vai elipsei, sauc par riņķa līniju.

Perimetrs ir divdimensionālas figūras apkārtmēra ceļa garums.

Perimetra aprēķināšanai ir vairāki praktiskie pielietojumi, piemēram, pagalma vai dārza žoga garuma aprēķināšana. Riteņa perimetrs (tā apkārtmērs) raksturo, cik tālu tas pārvietojies viena apgrieziena laikā. Savukārt, ap spoli aptītas stieples garums ir saistīts ar spoles perimetru.

Formulas

Figūra	Formula	Skaidrojumi
riņķis	${\displaystyle 2\pi r=\pi d}$	kur ${\displaystyle r}$ ir riņķa līnijas radiuss, ${\displaystyle d}$ tās diametrs.
trijstūris	${\displaystyle a+b+c\,}$	kur ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ un ${\displaystyle c}$ ir trijstūra malu garumi.
kvadrāts/rombs	${\displaystyle 4a}$	kur ${\displaystyle a}$ ir malas garums
taisnstūris	${\displaystyle 2(a+l)}$	kur ${\displaystyle a}$ ir platums, ${\displaystyle l}$ ir garums.
vienādmalu daudzstūris	${\displaystyle n\times a\,}$	kur ${\displaystyle n}$ ir malu skaits un ${\displaystyle a}$ ir vienas malas garums.
regulārs daudzstūris	${\displaystyle 2nb\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$	kur ${\displaystyle n}$ ir malu skaits ${\displaystyle b}$ ir attālums no daudzstūra centra līdz vienai no daudzstūra virsotnei.
n-stūris	${\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$	kur ${\displaystyle a_{i}}$ ir ${\displaystyle i}$-tās (1., 2., 3. ... n-tā) malas garums n-stūrim.

Perimetrs ir divdemensionālas figūras apkārtmēra ceļa garums. Jebkuras slēgtas divdimensionālas formas garumu var aprēķināt, kā jebkuru ceļu, ar ${\displaystyle \int \limits _{0}^{L}ds}$ ja ${\displaystyle L}$ ir ceļa garums un ${\displaystyle ds}$ ir bezgalīgi mazs līnijas elements. Abi šie lielumi ir jāaizstāj ar algebriskām formām, lai tos varētu praktiski aprēķināt. Ja perimetrs ir dots kā slēgta, gluda plaknes līkne ${\displaystyle \gamma$ :[a;b]\rightarrow R^{2}} ar

${\displaystyle \gamma (t)={\binom {x(t)}{y(t)}}}$

tad tās garumu ${\displaystyle L}$ var aprēķinā izmantojot:

${\displaystyle L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}dt}$

Daudzstūri

Daudzstūri ir pamats, lai noteiktu perimetru, ne tikai tāpēc, ka tie ir vienkāršas figūras, bet arī tāpēc, ka ar to perimetru var tuvināti aprēķināt daudzu formu perimetru, izmantojot daudzstūrus, kas tiecas uz šo formu. Pirmais zināmais matemātiķis, kurš ir izmantojis šāda veida spriedumu, ir Arhimēds, kurš pietuvināja riņķa perimetru tam apvilkta regulāra daudzstūra perimetram.

Daudzstūra perimetrs ir vienāds ar tā malu (šķautņu) garumu summu. Piemēram, perimetrs taisnstūrim ar platumu ${\displaystyle a}$ un garumu ${\displaystyle l}$ ir vienāds ar ${\displaystyle 2a+2l}$

Vienādmalu daudzstūris ir daudzstūris, kura visas malas ir vienāda garuma (piemēram, rombs ir 4 šķautņu vienādmalu daudzstūris). Lai aprēķinātu perimetru vienādmalu daudzstūrim, reizina malu skaitu ar malas garumu.

Regulāru daudzstūri var raksturot ar tā malu skaitu un tā rādiusu, proti, attālumu no daudzstūra centra līdz vienai no virsotnēm. Malu garumu var aprēķināt, izmantojot trigonometriju. Ja ${\displaystyle R}$ ir regulāra daudzstūra rādiuss un ${\displaystyle n}$ ir tā malu skaits, tad tā apkārtmērs ir

${\displaystyle 2nR\sin {\biggl (}{180^{\circ } \over n}{\biggr )}}$

Splitter (no angļu val.) trijstūrī ir nogrieznis, kas savieno virsotni ar tai pretējo malu un sadala perimetru divos vienādos garumos, šis garums tiek saukts par trijstūra pusperimetru. Šie nogriežņi trijstūrī krustojas Nāgela punktā.

Cleaver (no angļu val.) trijstūrī ir nogrieznis no trijstūra vienas malas viduspunkta līdz pretējai malai tā, ka perimetrs tiek sadalīts divās vienādās daļās. Šie nogriežņi trijstūrī krustojas vienā punktā, ko sauc par masas centru.

Riņķa līnija

Ja riņķa diametrs ir 1, tā apkārtmērs ir vienāds π.

Riņķa perimetrs, ko bieži sauc par riņķa līniju, ir proporcionāls tā diametram un rādiusam. Proti, eksistē konstants skaitlis pi, ${\displaystyle \pi }$ (grieķu p), ka, ja ${\displaystyle P}$ ir riņķa perimetrs un ${\displaystyle D}$ tā diametrs tad,

${\displaystyle P=\pi \cdot D}$.

Savukārt, izmantojot riņķa rādiusu ${\displaystyle r}$ , šī formula ir,

${\displaystyle P=2\pi \cdot R}$.

Lai aprēķinātu riņķa perimetru, ar zināšanām par tā rādiusu vai diametru un skaitli ${\displaystyle \pi }$ pietiek. Problēma ir tā, ka ${\displaystyle \pi }$ nav racionāls skaitlis (to nevar izteikt kā koeficientu no diviem veseliem skaitļiem), kā arī tas nav algebrisks skaitlis (tas nav sakne kādam nenulles polinomam ar veseliem koeficientiem). Tātad aprēķinos ir svarīgi iegūt precīzu ${\displaystyle \pi }$ tuvinājumu. Skaitļa π aprēķināšana ir būtiska daudzās jomās, piemēram, matemātiskajā analīzē, algoritmikā un datorzinātnēs.

Perimetra izpratne

Jo vairāk šī forma tiek sadalīta, jo mazāks ir tās laukums un lielāks perimetrs. Izliektā kontūra nemainās.

Neuf-Brisach nocietinājuma perimetrs ir sarežģīts. Īsākais ceļš ap to ir gar tā izliektajām malām.

Perimetrs un laukums ir divi galvenie ģeometrisko figūru lielumi. Ir kļūdaini uzskatīt, ka, ja viens no tiem ir lielāks, tad otram arī tādam ir jābūt. Patiešām, pierasts ir novērojums, ka palielinot (vai samazinot) formu, tās laukums palielinās (vai samazinās), un tāpat arī tās perimetrs. Piemēram, ja lauks ir uzzīmēts uz 1/10 000 mēroga kartes, faktiskā lauka perimetru var aprēķināt, reizinot zīmējuma perimetru ar 10 000. Reālais laukums ir 10 000² reizes zīmējuma laukums kartē. Tomēr nepastāv saistība starp laukumu un perimetru parastās formās. Piemēram, perimetrs taisnstūrim ar platumu 0,001 un garumu 1000 ir nedaudz virs 2000, bet perimetrs taisnstūrim ar platumu 0,5 un garumu 2 ir 5. Abos gadījumos taisnstūra laukums ir 1.

Prokls (5. gs.) ziņoja, ka grieķu zemnieki "godīgi" sadalīja laukus, balstoties uz to perimetriem.^[1] Tomēr lauku produkcija ir proporcionāla to platībai, nevis to perimetram, tāpēc daudzi naivi zemnieki varēja iegūt laukus ar lielu perimetru, bet nelielu platību (tādējādi, ar mazu ražu).

Noņemot gabalu no figūras, tās laukums samazinās, bet tās perimetrs var nesamazināties. Gadījumā, ja figūra ir ļoti neregulāra, varētu rasties neskaidrība starp perimetru un tās kontūru. Izliekta kontūra attēlā var būt vizualizēta kā forma, kas veidota, gumiju apstiepjot ap to. Animācijā attēlā pa kreisi visām figūrām ir vienāda izliekta kontūra.

Izoperimetrija

Izoperimetrijas problēma ir noteikt figūru ar vislielāko laukumu, ja ir dots tās perimetrs. Risinājums ir intuitīvs; tas ir riņķis. Tas var tikt izmantots, lai izskaidrotu, kāpēc tauku pilieni uz buljona virsmas ir apļveida.

Šī problēma var šķist vienkārša, bet tās matemātiskais pierādījumus pieprasa sarežģītu teorēmu. Izoperimetriska problēma dažreiz tiek vienkāršota, ierobežojot, kāda veida figūras tiek izmantotas. Jo īpaši, lai atrastu četrstūri, trijstūri, vai kādu citu noteiktu figūru, ar lielāko laukumu starp šīm figūrām, kad dots konkrēts perimetrs. Risinājums četrstūra izoperimetriskai problēmai ir kvadrāts, un risinājums trijstūra problēmai ir vienādmalu trijstūris. Kopumā, daudzstūris kuram ir n malas ar lielāko laukumu, ņemot vērā doto perimetru, ir regulārs daudzstūris, kas vairāk līdzinās riņķim, nekā jebkurš cits neregulārs daudzstūris ar tādu pašu malu skaitu.

Etimoloģija

Vārds radies no grieķu περίμετρος perimetros no περί peri "ap", un μέτρον metron "mērs".

Skatīt arī

• Laukums
• Pitagora teorēma
• Tilpums

Atsauces

1. T. Heath. A History of Greek Mathematics 2. Dover Publications, 1981. 206. lpp. ISBN 0-486-24074-6.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Perimeter, MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Semiperimeter, MathWorld.