대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다.[1] 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.
벡터 다발을 통한 정의
0차 K군
다음이 주어졌다고 하자.
- 콤팩트 하우스도르프 공간
![{\displaystyle X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 기호
. 이에 대하여,
-벡터 다발은
위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
-벡터 다발은
위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
-벡터 다발은
위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약
차원이라면)
--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)
그렇다면,
위의
-벡터 다발
![{\displaystyle E\twoheadrightarrow X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d55f89f438dec08139bdeb86a96d608a645169)
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며,
인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)
의
에 대한 K군(K-group)
는
위의
-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약
라면, 이는 가환환을 이룬다.
흔히, 만약
를 생략하였다면,
를 뜻한다.
축소 K군
가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 영어: reduced K-group)
는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle \phi \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2854391264e4abf4e1075e8220b053dcbe641839)
그렇다면
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})=\ker \phi =\operatorname {K} ^{0}(X)/\operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817032bf07c1f2a9c5125898f5fd9e787e26e529)
이다.
벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle \dim \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,\mathbb {Z} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c35dac7be96d0145a45ce04aa81d5d81e371b2)
여기서
는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약
가 연결 공간이라면
이다. 이 경우
이며, 벡터 공간
은
차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.
상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다.
가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면
의
에 대한 상대 K군
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(X,A)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X/A)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe304afeff297abb03a3e4e63861abf9764e4c8)
여기서
의 점은 물론
이다.
가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support)
는 그 알렉산드로프 콤팩트화
의 축소 K군이다.
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b2c2edbd6441e87748266bd48763c51cdf3692e)
물론, 만약
가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X\sqcup \{\bullet \})=\operatorname {K} ^{0}(X)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d6efd846f6c3f44c90e91d67b09a28583a4f1a)
이다.
분류 공간을 통한 정의
기호
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계
![{\displaystyle G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \dotsb }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685db21bc53fbc0a1d5002e80b4885ecc99950ed)
에 대한 분류 공간의 포함 관계
![{\displaystyle \mathrm {B} G(0)\to \mathrm {B} G(1)\to \mathrm {B} G(2)\to \dotsb }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aa9e11cb8ccf358511fac7d0334d8ee5b82d608)
가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간
위의
-벡터 다발
가 주어졌을 때,
-벡터 다발
를 취하는 것이다 (
는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한
![{\displaystyle \varinjlim \mathrm {B} G(\infty )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/040e6d2839bff6adb3d769da8bc29a6a5df17bf4)
를 취할 수 있다.
이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군
의 분류 공간
은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는
차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군
의 분류 공간
은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수
차원 부분 공간들의 공간이다.
가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면,
의 K군은 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathrm {K} G(X)=[X,\mathbb {Z} \times \mathrm {B} G(\infty )]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023c078914637a8424e39eccb0a7ebb351352d57)
여기서
는
호모토피류들의 집합이다.
만약,
가
차원 연결 공간이고
일 때,
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} (X)\cong [X,\operatorname {BO} (k)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d15edf65b3a7774b944b840e482e4a38bc9c43)
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} (X)\cong [X,\operatorname {BU} (k)]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8533be9746ff1e6dd42b9452c6bbbac4349c64)
이 성립한다.
코호몰로지
위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면
이어야 하지만, K이론에서는
이다.)
천 지표
천 지표
는
위의 벡터 다발들의 가환 모노이드
로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지
로 가는 모노이드 준동형이다.[1]:40–45[2]:100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형
로 확장된다. 즉,
라고 하면,
![{\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\oplus [F])=\operatorname {ch} ([E])+\operatorname {ch} ([F])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b86103eb4c92695fee1ec3e4e3332fb5ccd3ff1)
![{\displaystyle \operatorname {ch} ([E]\otimes [F])=\operatorname {ch} ([E])\smile \operatorname {ch} ([F])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f53c3d04e4fa327d2fcd84a6d9f57d9ff1bcf6)
![{\displaystyle \operatorname {ch} (-[E])=-\operatorname {ch} ([E])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e905f9524f9346f4cded5c8cfaeb9419584b564)
![{\displaystyle \operatorname {ch} ([\mathbb {C} ^{\oplus k}])=k}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbc5c23deb46e8e8a6982f0907b96a3a1a3d1dd)
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형
또한 존재한다.
고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.[2]:102
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(X)=\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabd738b92f0285d2bf9f67b5d16c62d5cb6c014)
![{\displaystyle \operatorname {\tilde {H}} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cong \operatorname {H} ^{2k+1}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X;\mathbb {Q} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bcf3e128552948ea12532158a0f254e6805295)
이므로, 이를 사용하여 천 지표를
![{\displaystyle \operatorname {K} ^{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5d4c9a226db9d3bbe1abd0794f6c261bb39ba2)
로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는
와
사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.[3]:7
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2815d09292ca818d03c8cc4da431356978f41e87)
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c622f7bddc90de02eda49d4a7acef4f9857400e)
마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.[3]:7
![{\displaystyle \operatorname {KO} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{4k}(X;\mathbb {Q} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bedab8e157ea234b37f65f1304a01e1cf12667)
초구
초구
의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.[1]:39
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953de1ff08997093cb1ea2f5ec949fa94dcb6cfa)
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cfbb0f187c6da1312effc3585f48ff49e3f0ca)
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6579e91f2cae3f0e5c7729ff95caf6bfbee854d0)
![{\displaystyle \operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42eb567950987e96108c32dcfde6f452d6346bdf)
초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcf02e09978c8b52f01c5bf97ffce36adc27044)
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04204c7aa4be003df00482c6136866524bedaea4)
초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.[4]:§3.1
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16226e9addd7bc535d1b4190fbd168ba63f37ea1)