상대 호몰로지

대수적 위상수학에서 상대 호몰로지(relative homology)는 위상 공간의 어떤 부분공간에 대하여 사슬 복합체의 몫을 취하여 얻은 특이 호몰로지다.

정의

${\displaystyle X}$가 위상 공간이고, ${\displaystyle A\subset X}$가 그 부분공간이라고 하자. 그렇다면 그 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 벡터 공간의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0}$.

몫공간 ${\displaystyle C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)}$의 원소를 상대 사슬(relative chain)이라고 한다.

${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$에 대한 경계 연산자 ${\displaystyle \partial }$은 ${\displaystyle C_{\bullet }(A)}$를 보존한다. 따라서 ${\displaystyle C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)}$의 경계를 정의할 수 있다. 이에 따라 ${\displaystyle C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)}$는 사슬 복합체를 이루며, 그 호몰로지를 상대 호몰로지 ${\displaystyle H_{\bullet }(X,A)}$라고 한다.

성질

(통상적인) 특이 호몰로지를 ${\displaystyle H_{n}(X)}$라고 하면, ${\displaystyle H_{n}(X,\varnothing )=H_{n}(X)}$이다. 즉, 통상적인 특이 호몰로지는 상대 호몰로지의 특수한 경우다.

절단 정리

${\displaystyle U\subset A}$가 ${\displaystyle \operatorname {cl} U\subset \operatorname {int} (A)}$를 만족한다고 하자. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} }$은 닫힘이고, ${\displaystyle \operatorname {int} }$는 내부이다. 그렇다면 ${\displaystyle H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X\setminus U,A\setminus U)}$이다. 이를 절단 정리(excision theorem)이라고 한다.

나아가, ${\displaystyle (X,A)}$가 위상수학적으로 비교적 정상적인 경우 보통 ${\displaystyle H_{\bullet }(X,A)=H_{\bullet }(X/A)}$이다.

상대 호몰로지의 긴 완전열

지그재그 보조정리(zigzag lemma)를 사용하여, 다음과 같은 완전열을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A){\xrightarrow {i_{*}}}H_{n}(X){\xrightarrow {j_{*}}}H_{n}(X,A){\xrightarrow {\partial _{*}}}H_{n-1}(A)\to \cdots }$.

여기서 ${\displaystyle i_{*}}$와 ${\displaystyle j_{*}}$는 짧은 완전열의 사상들

${\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A){\xrightarrow {i}}C_{\bullet }(X){\xrightarrow {j}}C_{\bullet }(X,A)\to 0}$

의 펑터 ${\displaystyle H_{n}}$에 대한 상이다. ${\displaystyle \partial _{*}}$는 지그재그 보조정리에 의하여 정의되는 사상이다. 즉, 상대 호몰로지 ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$의 경계는 ${\displaystyle H_{n-1}(A)}$에 속한다.

에일렌베르크-스틴로드 공리

 이 부분의 본문은 에일렌베르크-스틴로드 공리입니다.

상대 호몰로지는 에일렌베르크-스틴로드 공리라는 공리계를 따른다.

같이 보기

• 마이어-피토리스 열

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.