K이론

수학에서 K이론(K理論, 영어: K-theory)은 위상 공간 또는 스킴 위에 존재하는 벡터 다발 또는 연접층을 다루는 분야다. 공간에 존재하는 이러한 다발 또는 층의 성질들로부터, 위상 공간 또는 스킴의 구조를 알 수 있다. 기하학과 위상수학, 대수학, 수론과 관련 있다.

K이론은 위상 공간 또는 스킴에서 관련 환으로 사상하는 K함자 계열의 구성을 포함한다. 이 환은 원래 공간이나 스킴의 구조의 일부 측면을 반영한다. 대수적 위상수학에서 군에 대한 함자와 마찬가지로 이 함자 사상의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 사상된 환에서 일부 위상 성질을 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-이론 접근법에서 얻은 결과의 예로는 그로텐디크-리만-로흐 정리, 보트 주기성, 아티야-싱어 지표 정리 및 애덤스 연산이 있다.

수학 분야 분류(MSC 2010) 코드는 19.

그로텐디크 완비화

아벨 모노이드의 그로텐디크 완비화는 K이론을 정의하는 데 필수적인 과정이다. K이론의 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적인 구성을 통해 이를 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 아벨 모노이드 ${\displaystyle (A,+')}$에 대해 ${\displaystyle a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c}$인 ${\displaystyle c\in A}$가 존재하는 경우, ${\displaystyle \sim }$ 를 ${\displaystyle A^{2}=A\times A}$에서 정의된 관계

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})}$

라 하자. 그렇게 그런 다음 집합 ${\displaystyle G(A)=A^{2}/\sim }$는 군 구조 ${\displaystyle (G(A),+)}$를 가지고 있다. 여기서,

${\displaystyle [(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].}$

이 군의 동치류는 아벨 모노이드 원소의 형식적 차(差)로 생각해야 한다. 이 군 ${\displaystyle (G(A),+)}$은 또한 ${\displaystyle a\mapsto [(a,0)]}$로 주어진 모노이드 준동형사상 ${\displaystyle i:A\to G(A)}$과 관련이 있다. 이는 보편 성질을 가지고 있다.

이 군을 더 잘 이해하려면 아벨 모노이드 ${\displaystyle (A,+)}$의 몇 가지 동치류를 고려하면 된다. 여기서 ${\displaystyle A}$의 항등원을 ${\displaystyle 0}$으로 적어서${\displaystyle [(0,0)]}$가 ${\displaystyle (G(A),+)}$의 항등원이도록 한다. 첫 번째로, ${\displaystyle c=0}$으로 설정할 수 있고 동치 관계에서 방정식을 적용하여 ${\displaystyle n=n}$를 얻을 수 있기 때문에 ${\displaystyle \forall n\in A}$, ${\displaystyle (0,0)\sim (n,n)}$이다. 이것은

${\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]}$

를 의미한다. 따라서 ${\displaystyle G(A)}$의 각 원소에 대한 덧셈 역원을 가지고 있다. 이것은 동치류 ${\displaystyle [(a,b)]}$를 형식적 차 ${\displaystyle a-b}$로 생각해야 한다는 힌트를 제공 한다. 또 다른 유용한 관찰은 스케일링에서 동치류의 불변성이다.

${\displaystyle (a,b)\sim (a+k,b+k)}$ ${\displaystyle \forall k\in A.}$

그로텐디크 완비화는 함자 ${\displaystyle G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp} }$로 볼 수 있다. 해당 망각 함자 ${\displaystyle U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon} }$에 인접하게 남겨지는 성질이 있다. 즉, 아벨 모노이드 ${\displaystyle A}$에서 아벨 군 ${\displaystyle B}$의 기저 아벨 모노이드로 가는 사상 ${\displaystyle \phi :A\to U(B)}$가 주어졌을 때, 유일한 아벨 군 사상 ${\displaystyle G(A)\to B}$이 존재한다.

자연수 구조의 예시

살펴볼 예가 되는 예는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$의 그로텐디크 완비화이다. ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)}$을 볼 수 있다. 모든 쌍 ${\displaystyle (a,b)}$에 대해 스케일링에서 불변성을 사용하여 극소 대표원 ${\displaystyle (a',b')}$을 찾을 수 있다. 예를 들어 스케일링 불변성에서 다음을 확인할 수 있다.

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

일반적으로 ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$이다. 그러면,

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$ 형식인 것 ${\displaystyle (c,0)}$ 또는 ${\displaystyle (0,d).}$

이것은 ${\displaystyle (a,0)}$를 양의 정수로 ${\displaystyle (0,b)}$를 음의 정수로 생각해야 함을 보여준다.

정의

K이론은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 기하학적 대상 위에, 그 위에 존재할 수 있는 벡터다발과 같은 구조들을 다룬다. 이러한 구조들은 (그로텐디크 군을 취하면) 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 군들을 K군(K群, 영어: K-group)이라고 하고, ${\displaystyle K_{n}(M)}$과 같이 쓴다. 여기서 ${\displaystyle M}$은 다루는 기하학적 대상이고, ${\displaystyle n}$은 대략 "다발의 차원"에 해당하는 정수인 지수다. ${\displaystyle K_{n}}$은 아벨 군의 범주로의 함자를 이룬다.

K이론에는 위상 K이론, 대수적 K이론, 작용소 K이론 등이 있다. 위상 K이론은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 위에 존재하는 벡터 다발들을 다룬다. 대수적 K이론은 환 위에 존재하는 특정한 호모토피 이론적 구조들을 다룬다. (이는 스킴 이론을 통해, 스킴 위에 존재하는 연접층으로 생각할 수 있다.) 작용소 K이론은 C* 대수 위에 존재하는 특정한 대수적 구조들을 다룬다. 이는 비가환 기하학을 통해, 비가환 공간 위에 존재하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.

K이론은 에일렌베르크-스틴로드 공리에 따라, 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. 즉, 차원 공리를 제외하고, 보통 코호몰로지의 성질들을 만족시킨다.

콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 그로텐디크 군

주어진 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대해 ${\displaystyle X}$ 위의 유한 차원 선형 다발의 동치류 집합 ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$을 고려하자. 선형 다발 ${\displaystyle \pi :E\to X}$의 동형사상 동치류 ${\displaystyle [E]}$를 보자. 선형 다발의 동치류에 대해 직합이 잘 정의되므로 동치류에 다음과 같이 연산을 작성할 수 있다.

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$는 자명한 선형 다발 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$에 의해 단위가 주어지는 아벨 모노이드이다. 그런 다음 그로텐디크 완비화을 적용하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 군 을 얻을 수 있다. 이를 ${\displaystyle X}$의 K-이론이라하고 ${\displaystyle K^{0}(X)}$로 적는다.

세르-스완 정리와 어떤 대수를 사용하여 연속 복소 함수 환 ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$에 대한 선형 다발의 사영 가군 설명을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 행렬환 ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$에서 멱등 행렬로 식별될 수 있다. 멱등 행렬의 동치류를 정의하고 아벨 모노이드 ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$를 형성할 수 있다. 이의 그로텐디크 완비화도 ${\displaystyle K^{0}(X)}$라고 한다. 위상 공간에 대한 그로텐디크 군을 계산하는 주요 기술 중 하나는 아티야–히르체부르흐 스펙트럼 열에서 가져오므로 아주 쉽게 접근할 수 있다. 이 스펙트럼 열를 이해하는 데 필요한 유일한 계산은 구 ${\displaystyle S^{n}}$에 대해 군 ${\displaystyle K^{0}}$을 계산하는 것이다.^{[1] 페이지 51-110}

대수 기하학에서 선형 다발의 그로텐디크 군

대수 기하학에서 선형 다발을 고려하여 유사한 구성이 있다. 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$에 대해, ${\displaystyle X}$ 위의 대수적 선형 다발의 모든 동치류 집합 ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$가 있다. 그런 다음 이전과 같이 직합 ${\displaystyle \oplus }$이 선형 다발의 동형사상 동치류는 잘 정의되어 있으며, 아벨 모노이드 ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$를 제공한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 구성을 적용하여 그로텐디크 군 ${\displaystyle K^{0}(X)}$이 정의된다.

대수기하학에서 연접층의 그로텐디크 군

대수기하학에서는 동일한 구성을 매끄러운 스킴를 통해 대수 선형 다발에 적용할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$에 대한 대안적 구성이 있다. 연접층 ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$의 동치류를 보면, 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

이 있는 경우 관계 ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$에 의해 수정할 수 있다. 이것은 그로텐디크 군 ${\displaystyle K_{0}(X)}$을 제공한다. 만약에 ${\displaystyle X}$가 매끄러우면 이는 ${\displaystyle K^{0}(X)}$과 동형이다. 군 ${\displaystyle K_{0}(X)}$에는 환 구조도 있기 때문에 특별하다. 그것을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

그로텐디크-리만-로흐 정리를 사용하면

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

는 환 동형사상이다. 따라서 교차 이론에 대해 ${\displaystyle K_{0}(X)}$를 사용할 수 있다.^[2]

역사

K이론은 알렉산더 그로텐디크가 1957년에 리만-로흐 정리와 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 확장한 그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 정리를 발표하면서 도입한 것으로 여길 수 있다. "K"는 독일어: Klasse 클라세^[*]의 약자로, 특성류를 뜻한다. 그로텐디크가 창시한 이론은 대수적 K이론에서의 ${\displaystyle K_{0}}$에 해당한다.

그로텐디크는 대수적 다형체 ${\displaystyle X}$에서 연접층으로 작업해야 했다. 층으로 직접 작업하는 대신, 그는 층의 동치류를 군의 생성원으로 사용하여 군을 정의했으며, 두 층의 확장을 그들의 합으로 식별하는 관계에 따라 달라졌다. 결과로 나온 군은 국소 자유 층만 사용되는 경우 ${\displaystyle K(X)}$로, 모두 연접층인 경우 ${\displaystyle G(X)}$로 불린다. 이 두 구성 중 하나를 그로텐디크 군이라고 한다. ${\displaystyle K(X)}$는 코호몰로지적 행동을 하고 ${\displaystyle G(X)}$는 호몰로지적 행동을 한다.

${\displaystyle X}$가 매끄러운 다형체인 경우 두 군은 동일하다. ${\displaystyle X}$가 매끄러운 아핀 다형체이라면, 국소적으로 자유 층의 모든 확장이 분할되므로 군은 대체적 정의를 갖는다.

위상수학에서는 선형 다발에 동일한 구성을 적용하여 1959년에 마이클 아티야 와 프리드리히 히르체브루흐가 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대해 ${\displaystyle K(X)}$를 정의하고 보트 주기성 정리를 사용하여 이를 놀라운 코호몰로지 이론의 기초로 삼았다. 그것은 아티야-싱어 지표 정리 (1962년경)의 두 번째 증명에서 중요한 역할을 했다. 게다가 이 접근법은 C*-대수에 대한 비가환 K-이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 장피에르 세르는 사영 가군이 있는 선형 다발의 유추를 사용하여 다항식 환 위에 유한하게 생성된 모든 사영 가군이 자유 가군이라는 세르 추측을 공식화했다. 이 주장은 맞지만 20년이 지나도록 해결되지 않았다. (스완 정리는 이 비유의 또 다른 측면이다.)

대수적 K이론의 다른 역사적 기원은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 화이트헤드와 다른 사람들의 작업이다.

고차 K이론 함자에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 기간이 뒤따랐다. 마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 사용하여 대니얼 퀼런이 두 가지 유용하고 동등한 정의를 제공했다. pseudo-isotopies 연구와 관련된 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 변형을 제공했다. 더 높은 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수 기하학 및 동기 코호몰로지 연구와 관련이 있다. 1973년에 대니얼 퀼런이 고차 대수적 K군(${\displaystyle K_{3}}$, ${\displaystyle K_{4}}$, …)을 정의하였다.^[3]

보조 이차 형식을 포함하는 해당 구성은 L-이론으로 불린다. 그것은 수술 이론의 주요 도구이다.^[4]

끈 이론에서 라몬드-라몬드 장 강도와 안정적인 D-막의 전하의 K-이론 분류는 1997년에 처음 제안되었다. 끈 이론의 D-막들이 시공간의 위상 K이론으로 분류된다는 사실이 밝혀졌다.^[5][6][7][8]

예 및 성질

체의 K₀

그로텐디크 군의 가장 쉬운 예는 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$에 대한 점 ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$의 그로텐디크 군이다. 이 공간 위의 선형 다발은 유한 차원 선형 공간이며, 이는 연접층 범주의 자유 대상이므로 사영이므로 동치류의 모노이드는 ${\displaystyle \mathbb {N} }$과 같고 선형 공간의 차원에 해당한다. 이 그로텐디크 군이 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이라는 것을 보이는 것은 쉬운 연습이다.

체에 대한 아틴 대수의 K₀

뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$의 그로텐디크 군의 중요한 성질 중 하나는 그것은 축소 하에서 불변이라는 것이다. 즉, ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$.^[9] 따라서 아틴 ${\displaystyle \mathbb {F} }$-대수의 그로텐디크 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$들의 직합이다. 이때 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$는 스펙트럼의 연결성분 당 하나씩이다. 예를 들어,$${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

사영 공간의 K₀

그로텐디크 군의 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 체 위의 사영 공간 ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$에 대한 계산이다. 이것은 사영 공간 ${\displaystyle X}$의 교차수를 매장 ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$과 밂 당김 공식 ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$을 사용하여 계산할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면 ${\displaystyle K(X)}$의 원소를 사용하여 구체적인 계산을 수행할 수 있다. 왜냐하면$${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$이므로 구조를 명시적으로 알 필요 없기 때문이다^[10]. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$의 그로텐디크 군을 결정하는 한 가지 기법은 다음과 같은 계층화에서 비롯된다.$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$아핀 공간에 대한 연접층의 그로텐디크 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$와 동형이기 때문에 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$의 교집합은 일반적으로 ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$에 대해$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$

사영 다발의 K₀

그로텐디크 군에 대한 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식이다.^[11] 주어진 랭크 ${\displaystyle r}$ 선형 다발 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 뇌터 스킴 ${\displaystyle X}$을 통해, 사영 다발의 그로텐디크 군 ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$는 기저가${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$인 랭크 ${\displaystyle r}$ 자유 ${\displaystyle K(X)}$-가군이다. 이 공식을 사용하면 ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$의 그로텐디크 군을 계산할 수 있다. 이렇게 하면 ${\displaystyle K_{0}}$ 또는 히르체부르흐 곡면을 계산할 수 있다. 또한 이것이 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 위의 사영 다발임을 관찰함으로써 그로텐디크 군 ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$을 계산하는 데 사용할 수 있다.

특이 공간의 K₀와 분리된 몫 특이점이 있는 공간

${\displaystyle K^{0}(X)}$와 ${\displaystyle K_{0}(X)}$의 차이를 계산하는데서 오는 사소한 특이점을 가진 공간의 그로텐디크 군을 계산하는 최근 기법 중 하나는, 이는 모든 선형 다발이 연접층으로 동등하게 설명될 수 있다는 사실에서 비롯된다. 이것은 유도된 비가환 대수 기하학 에서 Singularity 범주 ${\displaystyle D_{sg}(X)}$의 그로텐디크 군을 사용하여 수행된다.^[12][13]. 다음으로 시작하는 긴 완전열을 제공한다.$${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$여기서 고차 항은 고차 K-이론에서 나온다. 매끄러운 영점 ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$들 위의 선형 다발 ${\displaystyle E\to X_{sm}}$로 제공된 특이한 ${\displaystyle X}$의 선형 다발에 유의하자. 이것은 일반적으로 분리된 몫 특이점을 가지기 때문에 가중 사영 공간에서 그로텐디크 군을 계산하는 것을 가능하게 한다. 특히 이러한 특이점에 등방 군 ${\displaystyle G_{i}}$들이 있는 경우, 사상$${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$는 단사이고 여핵은 ${\displaystyle n=\dim X}$인 ${\displaystyle {\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$에 의해 소멸된다.^{[13] 3페이지}

매끄러운 사영 곡선의 K ₀

매끄러운 사영 곡선 ${\displaystyle C}$에 대해, ${\displaystyle C}$의 피카르 군의 그로텐디크 군은$${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$이는 대수적 K-이론의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 열^{[14] 72쪽}에서 유래한다. 체에 대한 유한 유형의 정규 스킴의 경우, 여차원 ${\displaystyle p}$인 부분 스킴 ${\displaystyle x:Y\to X}$들의 집합을 의미하는 여차원 ${\displaystyle p}$인 점들의 집합 ${\displaystyle X^{(p)}}$에 대해 수렴 스펙트럼 열이 있다.$${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$여기서 ${\displaystyle k(x)}$는 부분 스킴의 대수적 함수체이다. 이 스펙트럼 열은 성질^{[14] pg 80}$${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$을 가진다. ${\displaystyle X}$의 저우 환의 경우, 본질적으로 ${\displaystyle K_{0}(C)}$의 계산을 제공한다. 왜냐하면 ${\displaystyle C}$가 여차원 ${\displaystyle 2}$인 점을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 열의 유일한 중요하지 않은 부분은 ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$이다. 따라서$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$그런 다음 coniveau 여과를 사용하여 ${\displaystyle K_{0}(C)}$을 완전열$${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$을 제공하므로 원하는 명시적 직합으로 결정할 수 있다. 여기서 왼쪽 항은 ${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$과 동형이다. 오른쪽 항은 ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$과 동형이다. ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$이므로, 동형사상을 제공하는 분리 위의 아벨 군의 열를 가진다. 만약 ${\displaystyle C}$가 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 종수 ${\displaystyle g}$의 매끄러운 사영 곡선이면,$${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g}).}$$또한, 고립된 특이점에 대해 유도된 특이점 범주를 사용하는 위의 기술은 고립된 코언-매콜리 특이점으로 확장되어 모든 특이 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기술을 제공한다. 축소는 일반적으로 매끄러운 곡선을 제공하고 모든 특이점은 코언-매콜리이기 때문이다.

응용

가상 다발

그로텐디크 군의 유용한 응용 중 하나는 가상 선형 다발을 정의하는 것이다. 예를 들어 매끄러운 공간을 삽입한 경우 ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ 짧은 완전열이 있다.

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

여기서 ${\displaystyle C_{Y/X}}$는 ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$의 여법 다발이다. 특이 공간 ${\displaystyle Y}$이 있다면 매끄러운 공간 ${\displaystyle X}$에 묻힌 가상 여법 다발을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

가상 다발의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접다발의 정의이다. ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$를 매끄러운 사영 다형체의 사영 부분 다형체이라 하자. 그런 다음 교집합 ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$의 가상 접다발을 정의할 수 있다.

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

콘세비치는 그의 논문 중 하나에서 이 구성을 사용한다.^[15]

천 특성

천 특성류는 공간의 위상 K-이론에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환의 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 선다발 ${\displaystyle L}$의 경우 천 특성 ch는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

더 일반적으로, 만약 ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ 첫 번째 천 특성류 ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i})}$가 있는 선다발의 직합이다. 천 특성은 가법적으로 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

천 특성은 텐서 곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 천 특성는 히르체부르흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

등변 K-이론

등변 대수적 K-이론은 범주와 관련된 대수적 K-이론이다. ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$ 대수적 스킴에서 등변 연접층 ${\displaystyle X}$ 선형 대수 군 ${\displaystyle G}$의 작용으로, 퀼런의 Q-구성을 통해; 따라서 정의에 따라

${\displaystyle K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).}$

특히, ${\displaystyle K_{0}^{G}(C)}$는 ${\displaystyle \operatorname {Coh} ^{G}(X)}$의 그로텐디크 군이다. 이 이론은 1980년대에 토마슨에 의해 개발되었다.^[16] 구체적으로 그는 국소화 정리와 같은 기본 정리의 등변적으로 유사한 명제를 증명했다.

같이 보기

• 그로텐디크-리만-로흐 정리
• 보트 주기성
• KK 이론
• KR-이론
• 코호몰로지 이론 목록
• 대수적 K-이론
• 위상 K-이론
• 연산자 K 이론
• 물리학에서 K이론

각주

1. Park, Efton. (2008). 《Complex topological K-theory》. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-38869-9. OCLC 227161674.
2. Grothendieck. “SGA 6 - Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres”. 2023년 6월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2023년 6월 29일에 확인함.
3. Quillen, Daniel (1973). 〈Higher algebraic K-theory: I〉. 《Higher K-theories: Proceedings of the Conference held at the Seattle Research Center of the Battelle Memorial Institute, from August 28 to September 8, 1972》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 341. Berlin, New York: Springer. 85–147쪽. doi:10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3. ISSN 0075-8434. MR 0338129.
4. by Ruben Minasian (http://string.lpthe.jussieu.fr/members.pl?key=7), and Gregory Moore in K-theory and Ramond–Ramond Charge.
5. Olsen, Kasper; Richard J. Szabo (1999). “Constructing D-branes from K-theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 3: 889–1025. arXiv:hep-th/9907140. Bibcode:1999hep.th....7140O. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
6. Witten, Edward (2001). “Overview of K-theory applied to strings”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 16 (5): 693–706. arXiv:hep-th/0007175. Bibcode:2001IJMPA..16..693W. doi:10.1142/S0217751X01003822. ISSN 0217-751X.
7. Evslin, Jarah (2006). “What does(n’t) K-theory classify?” (영어). arXiv:hep-th/0610328. Bibcode:2006hep.th...10328E.
8. Szabo, Richard J. (2008). “D-branes and bivariant K-theory” (영어). arXiv:0809.3029. Bibcode:2008arXiv0809.3029S.
9. “Grothendieck group for projective space over the dual numbers”. 《mathoverflow.net》. 2017년 4월 16일에 확인함.
10. “kt.k theory and homology - Grothendieck group for projective space over the dual numbers”. 《MathOverflow》. 2020년 10월 20일에 확인함.
11. Manin, Yuri I (1969년 1월 1일). “Lectures on the K-functor in algebraic geometry”. 《Russian Mathematical Surveys》 (영어) 24 (5): 1–89. Bibcode:1969RuMaS..24....1M. doi:10.1070/rm1969v024n05abeh001357. ISSN 0036-0279.
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외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “K-theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.